Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2000 жыл


Мемлекетте әрбір қаладан басқа 3 қалаға жол салынған 2000 қала бар. Тақ жол саны бар, тұйық маршрут қалмайтындай 1000 жолды жабуға болатындығын дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  9
1 года 4 месяца назад #

Очевидно, что количество дорог составляет 3000. Разобьем города на две группы A,B, каждая группа содержит ровно 1000 городов, таких, что число всех дорог, соединяющих город в A с городом в B, максимально.

Предположим, существуют два города a1A и b1B, такие что a1 имеет не более одного соседа в B, а b1 имеет не более одного соседа в A. Тогда, поменяв местами a1 и b1, мы получим конфигурацию с большим количеством перекрестков, чем раньше, что противоречило бы максимальному свойству разбиения A,B.

Таким образом, таких двух городов не существует. Это просто означает, что в одной из групп, WLOG говорит A, все города имеют как минимум двух соседей в B. Следовательно, количество перекрестков составляет не менее 2000. Из них выбираем ровно 2000 и закрываем остальные 1000.

Обратите внимание, что все оставшиеся дороги соединяют город A с городом B. Другими словами, у нас двудольный граф, следовательно, не существует цикла с нечетным числом ребер (дорог).