Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2000 жыл
Комментарий/решение:
Очевидно, что количество дорог составляет 3000. Разобьем города на две группы A,B, каждая группа содержит ровно 1000 городов, таких, что число всех дорог, соединяющих город в A с городом в B, максимально.
Предположим, существуют два города a1∈A и b1∈B, такие что a1 имеет не более одного соседа в B, а b1 имеет не более одного соседа в A. Тогда, поменяв местами a1 и b1, мы получим конфигурацию с большим количеством перекрестков, чем раньше, что противоречило бы максимальному свойству разбиения A,B.
Таким образом, таких двух городов не существует. Это просто означает, что в одной из групп, WLOG говорит A, все города имеют как минимум двух соседей в B. Следовательно, количество перекрестков составляет не менее 2000. Из них выбираем ровно 2000 и закрываем остальные 1000.
Обратите внимание, что все оставшиеся дороги соединяют город A с городом B. Другими словами, у нас двудольный граф, следовательно, не существует цикла с нечетным числом ребер (дорог).
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.