Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2000 жыл

Кез келген шеңбер ішінде барлық 4 түсті нүктелер кездесетіндей, жазықтықты 4 түске бояу мүмкін бе?

Комментарий/решение

Существует разбиение плоскости $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ на $4$ подмножества такое, что любой круг на плоскости содержит внутренние точки из каждого подмножества:

$A=\{(x,y)|\;x\in\mathbb{Q}, y\in\mathbb{Q}\}$;

$B=\{(x,y)|\;x\in\mathbb{Q}, y\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\}$;

$C=\{(x,y)|\;x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}, y\in\mathbb{Q}\}$;

$D=\{(x,y)|\;x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}, y\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\}$