Городская олимпиада «Аль-Фараби» по математике, 10-11 сыныпы

Есеп №1. В некотором государстве система авиалиний устроена так, что любой город соединен авиалиниями не более, чем с тремя другими городами и из любого города в любой другой город можно перелететь, сделав не более одной пересадки. Какое наибольшее число городов может быть в этом государстве?
комментарий/решение(2)

Есеп №2. Пусть даны действительные числа

$a\ge b$ и

$c\ge d$ . Докажите, что уравнение

$(x+a)(x+d)+(x+b)(x+c)=0$ имеет хотя бы один действительный корень.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Определите количество наборов

$(a,b,c,d,e,f)$ натуральных чисел, для которых справедливо

$a > b > c > d > e > f$ и

$a+f=b+e=c+d=30 \ ?$
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Дан вписанный четырёхугольник

$ABCD$ . Докажите, что

$|AB - CD| + |AD - BC| \geq 2|AC - BD|.$
комментарий/решение(2)

Есеп №5. Какое наибольшее количество ферзей можно поставить на шахматную доску так, чтобы каждый из них бил не более двух других? (Фигуры не бьют друг сквозь друга.)
комментарий/решение(2)

результаты