Городская олимпиада «Аль-Фараби» по математике, 10-11 классы

Дан вписанный четырёхугольник $ABCD$. Докажите, что $|AB - CD| + |AD - BC| \geq 2|AC - BD|.$

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Пусть $E$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Тогда треугольники $ABE$ и $DCE$ подобны. Если считать, что $AE=x$, $BE=y$ и $AB=z$, то в силу подобия треугольников $ABE$ и $DCE$, существует такое число $k$, что $DE=kx$, $CE=ky$ и $CD=kz$. Поэтому $$\vert AB-CD\vert = \vert k-1 \vert z,$$ $$\vert AC-BD \vert = \vert(kx+y)-(ky+x)\vert = \vert k-1 \vert \cdot \vert x-y \vert.$$ В силу неравенства треугольника $\vert x-y \vert \leq z$ мы заключаем, что $\vert AB-CD\vert \geq \vert AC-BD\vert $ проведя аналогичные рассуждения, получим $\vert AD-BC \vert \geq \vert AC-BD\vert$. Два последних неравенства завершают доказательство.