Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Городская олимпиада «Аль-Фараби» по математике, 10-11 сыныпы


Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Докажите, что |ABCD|+|ADBC|2|ACBD|.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Пусть E — точка пересечения диагоналей AC и BD. Тогда треугольники ABE и DCE подобны. Если считать, что AE=x, BE=y и AB=z, то в силу подобия треугольников ABE и DCE, существует такое число k, что DE=kx, CE=ky и CD=kz. Поэтому |ABCD|=|k1|z, |ACBD|=|(kx+y)(ky+x)|=|k1||xy|. В силу неравенства треугольника |xy|z мы заключаем, что |ABCD||ACBD| проведя аналогичные рассуждения, получим |ADBC||ACBD|. Два последних неравенства завершают доказательство.

  0
5 года 7 месяца назад #