Городская олимпиада «Аль-Фараби» по математике, 10-11 сыныпы
Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Докажите, что |AB−CD|+|AD−BC|≥2|AC−BD|.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Пусть E — точка пересечения диагоналей AC и BD. Тогда треугольники ABE и DCE подобны. Если считать, что AE=x, BE=y и AB=z, то в силу подобия треугольников ABE и DCE, существует такое число k, что DE=kx, CE=ky и CD=kz. Поэтому |AB−CD|=|k−1|z, |AC−BD|=|(kx+y)−(ky+x)|=|k−1|⋅|x−y|. В силу неравенства треугольника |x−y|≤z мы заключаем, что |AB−CD|≥|AC−BD| проведя аналогичные рассуждения, получим |AD−BC|≥|AC−BD|. Два последних неравенства завершают доказательство.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.