Городская олимпиада «Аль-Фараби» по математике, 10-11 классы

Пусть даны действительные числа $a\ge b$ и $c\ge d$. Докажите, что уравнение $(x+a)(x+d)+(x+b)(x+c)=0$ имеет хотя бы один действительный корень.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Пусть $f(x)=(x+a)(x+d)+(x+b)(x+c)$.
Если $a=b$, то число, например $x=-a$, является корнем, так как $f\left( -a \right)=0$. То есть условие задачи выполняется. Аналогично, условие задачи выполняется также когда $c=d$.
Пусть теперь $a>b$ и $c>d$. Так как $f(-b)=(a-b)(d-b)$, $f(-d)=(c-d)(b-d)$, то $f(-b)$ и $f(-d)$ имеют противоположные знаки. А так как квадратная функция $f(x)$ непрерывна, то функция, переходя из отрицательного значения в положительное, перейдет через точку, в которой значение функции равно нулю.