Городская олимпиада «Аль-Фараби» по математике, 10-11 классы
Какое наибольшее количество ферзей можно поставить на шахматную доску так, чтобы каждый из них бил не более двух других? (Фигуры не бьют друг сквозь друга.)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Это предпросмотр
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Ответ: 14. Пример расстановки показан на рисунке ниже.
Докажем, что нельзя поставить 15 ферзей. Каждый ферзь бьет в восьми направлениях, причем лишь в двух из них он может бить других ферзей, значит, как минимум в 6 направлениях он бьет за пределы доски. На доске есть $2\times 8\times 2+2\times 15\times 2=94$ возможных направления удара за пределы доски. Если бы удалось поставить 15 ферзей, они вместе били бы за пределы доски не менее чем в 90 направлениях. Так как ферзи не могут стоять во всех четырех угловых клетках доски (поскольку бьют друг друга), они занимают не более трех угловых клеток. Если ферзи стоят в трех углах, то найдутся хотя бы две диагонали длины 2, на которых нет ферзей, тогда общее число возможных направлений будет не более 88 (поскольку в такой расстановке не реализованы удары ферзей для 6 диагональных направлений — двух у четвертой угловой клетки и двух у каждой короткой диагонали). Если занято только два угла, то все равно найдется диагональ длины 2 без ферзя, поэтому и в этом случае получается не более 88 направлений. Наконец, если три угла свободны, то и в этом случае получается не более 88 направлений. Значит, 15 ферзей так расположить невозможно.
қазақша
русский
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.