Городская олимпиада «Аль-Фараби» по математике, 9 класс

Задача №1. Некоторые числа, кратные числу 7, при делении на 2, на 3, на 4, на 5 и на 6 дают остаток 1. Найдите наименьшее из таких чисел.
комментарий/решение(2)

Задача №2. Две окружности пересекаются в точках

$P$ и

$Q$ . Прямая пересекает эти окружности последовательно в точках

$A$ ,

$B$ ,

$C$ и

$D$ , как показано на рисунке. Докажите, что

$\angle APB=\angle CQD$ .

комментарий/решение(1)

Задача №3. В некотором государстве система авиалиний устроена так, что любой город соединен авиалиниями не более, чем с тремя другими городами и из любого города в любой другой город можно перелететь, сделав не более одной пересадки. Какое наибольшее число городов может быть в этом государстве?
комментарий/решение(1)

Задача №4. Известно, что

${{a}^{4}}{{b}^{3}}+{{b}^{4}}{{c}^{3}}+{{c}^{4}}{{a}^{3}}={{a}^{3}}{{b}^{4}}+{{b}^{3}}{{c}^{4}}+{{c}^{3}}{{a}^{4}}$ . Найдите значение выражения

$\left( a-b \right)\left( b-c \right)\left( c-a \right)$ .
комментарий/решение(1)

результаты