Городская олимпиада «Аль-Фараби» по математике, 9 класс

Две окружности пересекаются в точках $P$ и $Q$. Прямая пересекает эти окружности последовательно в точках $A$, $B$, $C$ и $D$, как показано на рисунке. Докажите, что $\angle APB=\angle CQD$.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     По теореме о вписанных углах $\angle PAC = \angle PQC, ~\angle PBD = \angle PQD.$ Поскольку $PBD$ --- внешний угол треугольника $ABP$, то $\angle PBD = \angle PAB + \angle APB.$ Следовательно, $$\angle APB = \angle PBD - \angle PAB = \angle PBD - \angle PAC= \angle PQD - \angle PQC = \angle CQD,$$ что и требовалось доказать.