Городская олимпиада «Аль-Фараби» по математике, 9 класс

Две окружности пересекаются в точках $P$ и $Q$. Прямая пересекает эти окружности последовательно в точках $A$, $B$, $C$ и $D$, как показано на рисунке. Докажите, что $\angle APB=\angle CQD$.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     По теореме о вписанных углах $\angle PAC = \angle PQC, ~\angle PBD = \angle PQD.$ Поскольку $PBD$ --- внешний угол треугольника $ABP$, то $\angle PBD = \angle PAB + \angle APB.$ Следовательно, $$ \angle APB = \angle PBD - \angle PAB = \angle PBD - \angle PAC= \angle PQD - \angle PQC = \angle CQD, $$ что и требовалось доказать.

Проведем СР,РD,QB,AQ.угол РАС=угол РQC по теореме о вписанных углах.Аналогично угол QAC=угол QPC,угол PDB=угол PQB,угол QDB=угол BPQ.Из треугольников APD и AQD можно заметить,что

Угол AQB+угол CQD=угол APB+угол CPD.

Из треугольников APQ и DPQ отметим,что Угол APB+угол AQB=угол DPC+угол DQC.

Мы имеем:

1)угол APB+угол CPD=угол AQB+угол CQD

2)APB+угол AQB=угол DPC+угол DQC. Сложим два уравнения тогда

2•угол APB+угол СРD+угол AQB=2•угол CQD+угол AQB+ угол CPD тогда

2•угол APB=2•угол CQD.

Угол APB=угол CQD