Городская олимпиада «Аль-Фараби» по математике, 9 класс

Некоторые числа, кратные числу 7, при делении на 2, на 3, на 4, на 5 и на 6 дают остаток 1. Найдите наименьшее из таких чисел.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ: 301.
Так как при делении на $2$ и $5$ остаток $1$, то число оканчивается цифрой $1$. Обозначим это число через $10a+1$. Тогда $10a$ должно делиться на $12$ и $10a+1$ должно делиться на $7$. Среди чисел $a$ кратных $6$ ищем наименьшее, чтобы выполнилось условие делимости на 7. Простым перебором находим, что $a = 30$. Искомое число 301.

Так как искомое число $x$ при делении на $2$, на $3$, на $4$, на $5$ и на $6$ дает остаток $1$, то $x=60n+1$.

b_Лемма._b Число делится на $7$, если разность числа десятков и удвоенного числа единиц делится на $7$.

b_Доказательство:_b

$\square$ Пусть $a$ - число десятков, $b$ - число единиц числа $n$, т. е. $n=10a+b$.

$(a-2b) \, \vdots \, 7$

$3(a-2b) \, \vdots \, 7$

$7(a+b) \, \vdots \, 7$

Сложив последние два выражения, получим:

$(10a+b) \, \vdots \, 7\, \blacksquare$

Значит, $(6n-2) \, \vdots \, 7$ или $2(3n-1) \, \vdots \, 7$, откуда легко найти наименьшее $n=5$, тогда искомое число равно $301$.