Математикадан 56-шы халықаралық олимпиада, 2015 жыл, Чиангмай

Есеп №1. Егер

$S$ жиынында жататын кез келген әртүрлі

$A$ және

$B$ нүктелері үшін

$AC=BC$ болатындай

$S$ жиынында

$C$ нүктесі табылса, онда шекті

$S$ жазықтықтағы нүктелер жиыны \textit{балансты} деп аталады. Егер

$S$ жиынында жататын кез келген әртүрлі

$A$ ,

$B$ және

$C$ нүктелері үшін

$PA=BB=PC$ болатындай

$S$ жиынында

$P$ нүктесі табылмаса, онда

$S$ центрден бос деп аталады.
(а) Кез келген бүтін

$n \ge 3$ үшін,

$n$ нүктеден тұратын балансты жиын табылатынын дәлелдеңіз.
(б)

$n$ нүктеден тұратын балансты центрден бос жиын табылатындай, барлық

$n \ge 3$ бүтін сандарын табыңыз.
комментарий/решение(1)

Есеп №2.

$ab-c$ ,

$bc-a$ және

$ca-b$ сандарының әрқайсысы 2-нің дәрежесі болатындай барлық натурал

$(a, b, c)$ үштік сандарын табыңыз.
(Бүтін теріс емес

$n$ саны үшін,

$2^n$ түріндегі санды 2-нің дәрежесі деп атаймыз.)
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$AB > AC$ болатындай сүйірбұрышты

$ABC$ үшбұрышы берілген. Оның

$\Gamma$ сырттай сызылған шеңбері,

$H$ ортоцентрі, ал

$F$ нүктесі

$A$ төбесінен түсірілген биіктіктің табаны болсын.

$M$ нүктесі

$BC$ қабырғасының ортасы болсын.

$\angle HQA = 90^\circ$ болатындай

$\Gamma$ шеңберінен

$Q$ нүктесі, және

$\angle HKQ = 90^\circ$ болатын

$\Gamma$ шеңберінен

$K$ нүктесі алынған.

$A$ ,

$B$ ,

$C$ ,

$K$ және

$Q$ нүктелері әртүрлі, және

$\Gamma$ шеңберінің бойында осындай ретпен орналассын.

$KQH$ және

$FKM$ үшбұрыштарының сырттай сызылған шеңберлері бір бірін жанайтынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)

Есеп №4.

$ABC$ үшбұрышында

$\Omega$ ол сырттай сызылған шеңбері,

$O$ осы шеңбердің центрі. Центрі

$A$ болатын

$\Gamma$ шеңбері

$BC$ қабырғасын

$D$ және

$E$ нүктелерінде қияды, мұнда

$B$ ,

$D$ ,

$E$ мен

$C$ әртүрлі нүктелер және олар

$BC$ түзуінде осындай ретпен орналасқан.

$\Gamma$ және

$\Omega$ шеңберлері

$F$ және

$C$ нүктелерінде қиылысады, мұнда

$A$ ,

$F$ ,

$B$ ,

$C$ мен

$G$ нүктелері

$\Omega$ -ның бойында осындай ретпен орналасқан.

$BDF$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер

$AB$ кесіндісін екінші рет

$K$ нүктесінде қисын.

$CGE$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер

$CA$ кесіндісін екінші рет

$L$ нүктесінде қисын.

$FK$ және

$GL$ түзулері әртүрлі және олар

$X$ нүктесінде қиылыссын.

$X$ нүктесі

$AO$ түзуінің бойында жататынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)

Есеп №5.

$\mathbb{R}$ нақты сандар жиыны. Барлық нақты

$x$ пен

$y$ үшін

$f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)$ теңдеуін қанағаттандыратын барлық

$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ функцияларын табыңыз.
комментарий/решение(2)

Есеп №6.

$a_1$ ,

$a_2$ ,

$\ldots$ бүтін сандар тізбегі келесі шарттарды қанағаттандырады:
(i) барлық

$j \ge 1$ үшін

$1 \le a_j \le 2015$ ;
(ii) барлық

$1 \le k < \ell$ үшін

$k+a_k \ne \ell + a_{\ell}$ .

$n> m \ge N$ болатын барлық бүтін

$m$ және

$n$ үшін

$\left| {\sum\limits_{j = m + 1}^n {({a_j} - b) \le {{1007}^2}} } \right|$ орындалатындай натурал

$b$ және

$N$ сандары табылатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

результаты