қазақша
русскийМатематикадан 56-шы халықаралық олимпиада, 2015 жыл, Чиангмай
Есеп №1. Егер $S$ жиынында жататын кез келген әртүрлі $A$ және $B$ нүктелері үшін $AC=BC$ болатындай $S$ жиынында $C$ нүктесі табылса, онда шекті $S$ жазықтықтағы нүктелер жиыны \textit{балансты} деп аталады. Егер $S$ жиынында жататын кез келген әртүрлі $A$, $B$ және $C$ нүктелері үшін $PA=BB=PC$ болатындай $S$ жиынында $P$ нүктесі табылмаса, онда $S$ центрден бос деп аталады.
(а) Кез келген бүтін $n \ge 3$ үшін, $n$ нүктеден тұратын балансты жиын табылатынын дәлелдеңіз.
(б) $n$ нүктеден тұратын балансты центрден бос жиын табылатындай, барлық $n \ge 3$ бүтін сандарын табыңыз.
комментарий/решение(1)
(а) Кез келген бүтін $n \ge 3$ үшін, $n$ нүктеден тұратын балансты жиын табылатынын дәлелдеңіз.
(б) $n$ нүктеден тұратын балансты центрден бос жиын табылатындай, барлық $n \ge 3$ бүтін сандарын табыңыз.
комментарий/решение(1)
Есеп №2. $ab-c$, $bc-a$ және $ca-b$ сандарының әрқайсысы 2-нің дәрежесі болатындай барлық натурал $(a, b, c)$ үштік сандарын табыңыз.
(Бүтін теріс емес $n$ саны үшін, $2^n$ түріндегі санды 2-нің дәрежесі деп атаймыз.)
комментарий/решение(1)
(Бүтін теріс емес $n$ саны үшін, $2^n$ түріндегі санды 2-нің дәрежесі деп атаймыз.)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. $AB > AC$ болатындай сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышы берілген. Оның $\Gamma$ сырттай сызылған шеңбері, $H$ ортоцентрі, ал $F$ нүктесі $A$ төбесінен түсірілген биіктіктің табаны болсын. $M$ нүктесі $BC$ қабырғасының ортасы болсын. $\angle HQA = 90^\circ$ болатындай $\Gamma$ шеңберінен $Q$ нүктесі, және $\angle HKQ = 90^\circ$ болатын $\Gamma$ шеңберінен $K$ нүктесі алынған. $A$, $B$, $C$, $K$ және $Q$ нүктелері әртүрлі, және $\Gamma$ шеңберінің бойында осындай ретпен орналассын.
$KQH$ және $FKM$ үшбұрыштарының сырттай сызылған шеңберлері бір бірін жанайтынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)
$KQH$ және $FKM$ үшбұрыштарының сырттай сызылған шеңберлері бір бірін жанайтынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)
Есеп №4. $ABC$ үшбұрышында $\Omega$ ол сырттай сызылған шеңбері, $O$ осы шеңбердің центрі. Центрі $A$ болатын $\Gamma$ шеңбері $BC$ қабырғасын $D$ және $E$ нүктелерінде қияды, мұнда $B$, $D$, $E$ мен $C$ әртүрлі нүктелер және олар $BC$ түзуінде осындай ретпен орналасқан. $\Gamma$ және $\Omega$ шеңберлері $F$ және $C$ нүктелерінде қиылысады, мұнда $A$, $F$, $B$, $C$ мен $G$ нүктелері $\Omega$-ның бойында осындай ретпен орналасқан. $BDF$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер $AB$ кесіндісін екінші рет $K$ нүктесінде қисын. $CGE$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер $CA$ кесіндісін екінші рет $L$ нүктесінде қисын. $FK$ және $GL$ түзулері әртүрлі және олар $X$ нүктесінде қиылыссын. $X$ нүктесі $AO$ түзуінің бойында жататынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №5. $\mathbb{R}$ нақты сандар жиыны. Барлық нақты $x$ пен $y$ үшін $f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)$
теңдеуін қанағаттандыратын барлық $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ функцияларын табыңыз.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №6. $a_1$, $a_2$, $\ldots$ бүтін сандар тізбегі келесі шарттарды қанағаттандырады:
(i) барлық $j \ge 1$ үшін $1 \le a_j \le 2015$;
(ii) барлық $1 \le k < \ell$ үшін $k+a_k \ne \ell + a_{\ell}$.
$n> m \ge N$ болатын барлық бүтін $m$ және $n$ үшін $\left| {\sum\limits_{j = m + 1}^n {({a_j} - b) \le {{1007}^2}} } \right|$ орындалатындай натурал $b$ және $N$ сандары табылатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)
(i) барлық $j \ge 1$ үшін $1 \le a_j \le 2015$;
(ii) барлық $1 \le k < \ell$ үшін $k+a_k \ne \ell + a_{\ell}$.
$n> m \ge N$ болатын барлық бүтін $m$ және $n$ үшін $\left| {\sum\limits_{j = m + 1}^n {({a_j} - b) \le {{1007}^2}} } \right|$ орындалатындай натурал $b$ және $N$ сандары табылатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)