56-я Международная Математическая OлимпиадаТаиланд, Чиангмай, 2015 год

Пусть $\mathbb{R}$ — множество всех действительных чисел. Найди те все функции $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ удовлетворяющие равенству $$f\left( x+f(x+y) \right)+f\left( xy \right)=x+f\left( x+y \right)+yf\left( x \right)$$ для всех действительных чисел $x$ и $y$.

Комментарий/решение

Решение: Пусть $P(x,y)$ обозначает искомое равенство. Пусть $A$ множество всех $x,$ что $f(x)=x.$

Из $P(x-1,1): x+f(x)-1\in A.$

$P(0,0): f(f(0))=0$

$P(0,f(0)): (f(0)-2)f(0)=0$

$(1)$ Если $f(0)=2,$ то из $P(0,y): f(f(y))=f(y)+2(y-1),$

подставим вместо $y\to x+f(x)-1,$ откуда $\boxed{f(x)\equiv 2-x},$ что подходит.

$(2)$ Если $f(0)=0,$ то из $P(x,0)$ и $P(0,x)$ получаем, что $f(x)$ и $x+f(x)\in A.$

Рассмотрим равенства $(*):$ $P(x,-x)$ и $P(-x,x).$ Их разность дает

$$f(x)-f(-x)=2x - x(f(x)+f(-x))$$

Из равенств $(*)$ для $x=1$ получаем, что $f(-1)=-f(1)=-1.$

$P(1,y): f(1+f(y+1))+f(y)=1+f(y+1)+y,$

рассмотрим здесь $y\to x+f(x)-1,$ отсюда $x+f(x)+1\in A.$

$P(x+1,-1): f-$нечетная функция.

Тогда из итогового равенства в $(*)\implies \boxed{f(x)\equiv x},$ что подходит.

Если $x\in F$, то из (4) мы знаем, что $(x-1)f(-x)=-x^2+x$, поэтому $f(-x)=-x$ или $x =1$

я вижу это подробно, и здесь это неправильно, поэтому, как вы сказали, $f(x)-f(-x)=2x-x(f(x)+f(-x))$ это правда, но в тот момент, когда вы сказал

если $x\in F$, чем $(x-1)f(-x)-x^2+x$, то $f(-x)=-x$ или $x=1$, что тоже верно, вот это ошибка

поскольку $1,-1\in F$, чем $-x\in F$ $\forall x\in F$, это неправильно, вот почему

поскольку $f(f(x))=f(x)$ это означает $f(x)\in F$ $\forall x$, но чем

из $(4)$ имеем $(f(x)-1)(f(-f(x))=-(f(x))^2+f(x)$, поэтому $(f(x)- 1)(f(-f(x))+f(x))=0$ это означает

$f(x)=1$ или $f(-f(x))=-f(x)$, если вы доказываете, что $f(x)=1$ только для $x=1$, то остальная часть вашего решения верна