56-я Международная Математическая Oлимпиада
Таиланд, Чиангмай, 2015 год

Задача №1.  Конечное множество $S$ точек на плоскости будем называть сбалансированным, если для любых различных точек $A$ и $B$ из множества $S$ найдется точка $C$ из множества $S$ такая, что $AC=BC$. Множество $S$ будем называть эксцентричным, если для любых трех различных точек $A$, $B$ и $C$ из множества $S$ не существует точки $P$ из множества $S$ такой, что $PA=PB=PC$.
(а) Докажите, что для любого целого $n\ge 3$ существует сбалансированное множество, состоящее из $n$ точек.
(б) Найдите все целые $n\ge 3$, для которых существует сбалансированное эксцентричное множество, состоящее из $n$ точек.
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Найдите все тройки $\left( a,b,c \right)$ целых положительных чисел такие, что каждое из чисел $ab-c$, $bc-a$, $ca-b$ является степенью двойки. (Степенью двойки называется число вида ${{2}^{n}}$, где $n$ — целое неотрицательное число.)
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  Пусть $ABC$ — остроугольный треугольник, в котором ${AB > AC}$. Пусть $\Gamma $ — окружность, описанная около него, $H$ — его ортоцентр, а $F$ — основание высоты, опущенной из вершины $A$. Пусть $M$ — середина стороны $BC$. Пусть $Q$ — точка на окружности $\Gamma $ такая, что $\angle HQA=90{}^\circ $, а $K$ — точка та окружности $\Gamma $ такая, что $\angle HKQ=90{}^\circ $. Пусть точки $A$, $B$, $C$, $K$ и $Q$ различны и лежат на окружности $\Gamma $ в указанном порядке. Докажите, что окружности, описанные около треугольников $KQH$ и $FKM$, касаются друг друга.
комментарий/решение(2)

---

Задача №4.  Пусть $\Omega $ — окружность, описанная около треугольника $ABC$, а точка $O$ — ее центр. Окружность $\Gamma $ с центром $A$ пересекает отрезок $BC$ в точках $D$ и $E$ так, что точки $B$, $D$, $E$ и $C$ все различны и лежат на прямой $BC$ в указанном порядке. Пусть $F$ и $G$ — точки пересечения окружностей $\Gamma $ и $\Omega $, при этом точки $A$, $F$, $B$, $C$ и $G$ лежат на $\Omega $ в указанном порядке. Пусть $K$ — вторая точка пересечения окружности, описанной около треугольника $BDF$ и отрезка $AB$. Пусть $L$ — вторая точка пересечения окружности, описанной около треугольника $CGE$, и отрезка $CA$. Пусть прямые $FK$ и $GL$ различны и пересекаются в точке $X$. Докажите, что точка $X$ лежит на прямой $AO$.
комментарий/решение(2)

---

Задача №5.  Пусть $\mathbb{R}$ — множество всех действительных чисел. Найди те все функции $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ удовлетворяющие равенству $$f\left( x+f(x+y) \right)+f\left( xy \right)=x+f\left( x+y \right)+yf\left( x \right)$$ для всех действительных чисел $x$ и $y$.
комментарий/решение(2)

---

Задача №6.  Последовательность ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, $\ldots $ целых чисел удовлетворяет следующим условиям:
(i) $1\le {{a}_{j}}\le 2015$ для всех $j\ge 1$;
(ii) $k+{{a}_{k}}\ne l+{{a}_{l}}$ для всех $1\le k < l$.
Докажите, что существуют два положительных целых числа $b$ и $N$ таких, что $\left| \sum\limits_{j=m+1}^{n}{\left( {{a}_{j}}-b \right)} \right|\le {{1007}^{2}}$ для всех целых чисел $m$ и $n$, удовлетворяющих условию $n > m\ge N$.
комментарий/решение(1)

---