56-я Международная Математическая Oлимпиада
Таиланд, Чиангмай, 2015 год
Задача №1. Конечное множество S точек на плоскости будем называть сбалансированным, если для любых различных точек A и B из множества S найдется точка C из множества S такая, что AC=BC. Множество S будем называть эксцентричным, если для любых трех различных точек A, B и C из множества S не существует точки P из множества S такой, что PA=PB=PC.
(а) Докажите, что для любого целого n≥3 существует сбалансированное множество, состоящее из n точек.
(б) Найдите все целые n≥3, для которых существует сбалансированное эксцентричное множество, состоящее из n точек.
комментарий/решение(1)
(а) Докажите, что для любого целого n≥3 существует сбалансированное множество, состоящее из n точек.
(б) Найдите все целые n≥3, для которых существует сбалансированное эксцентричное множество, состоящее из n точек.
комментарий/решение(1)
Задача №2. Найдите все тройки (a,b,c) целых положительных чисел такие, что каждое из чисел ab−c, bc−a, ca−b является степенью двойки.
(Степенью двойки называется число вида 2n, где n — целое неотрицательное число.)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Пусть ABC — остроугольный треугольник, в котором AB>AC. Пусть Γ — окружность, описанная около него, H — его ортоцентр, а F — основание высоты, опущенной из вершины A. Пусть M — середина стороны BC. Пусть Q — точка на окружности Γ такая, что ∠HQA=90∘, а K — точка та окружности Γ такая, что ∠HKQ=90∘. Пусть точки A, B, C, K и Q различны и лежат на окружности Γ в указанном порядке.
Докажите, что окружности, описанные около треугольников KQH и FKM, касаются друг друга.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №4. Пусть Ω — окружность, описанная около треугольника ABC, а точка O — ее центр. Окружность Γ с центром A пересекает отрезок BC в точках D и E так, что точки B, D, E и C все различны и лежат на прямой BC в указанном порядке. Пусть F и G — точки пересечения окружностей Γ и Ω, при этом точки A, F, B, C и G лежат на Ω в указанном порядке. Пусть K — вторая точка пересечения окружности, описанной около треугольника BDF и отрезка AB. Пусть L — вторая точка пересечения окружности, описанной около треугольника CGE, и отрезка CA.
Пусть прямые FK и GL различны и пересекаются в точке X. Докажите, что точка X лежит на прямой AO.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №5. Пусть R — множество всех действительных чисел. Найди те все функции f:R→R удовлетворяющие равенству
f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)
комментарий/решение(2)
для всех действительных чисел x и y.
комментарий/решение(2)
Задача №6. Последовательность a1, a2, … целых чисел удовлетворяет следующим условиям:
(i) 1≤aj≤2015 для всех j≥1;
(ii) k+ak≠l+al для всех 1≤k<l.
Докажите, что существуют два положительных целых числа b и N таких, что |n∑j=m+1(aj−b)|≤10072 для всех целых чисел m и n, удовлетворяющих условию n>m≥N.
комментарий/решение(1)
(i) 1≤aj≤2015 для всех j≥1;
(ii) k+ak≠l+al для всех 1≤k<l.
Докажите, что существуют два положительных целых числа b и N таких, что |n∑j=m+1(aj−b)|≤10072 для всех целых чисел m и n, удовлетворяющих условию n>m≥N.
комментарий/решение(1)