Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан 56-шы халықаралық олимпиада, 2015 жыл, Чиангмай


ABC үшбұрышында Ω ол сырттай сызылған шеңбері, O осы шеңбердің центрі. Центрі A болатын Γ шеңбері BC қабырғасын D және E нүктелерінде қияды, мұнда B, D, E мен C әртүрлі нүктелер және олар BC түзуінде осындай ретпен орналасқан. Γ және Ω шеңберлері F және C нүктелерінде қиылысады, мұнда A, F, B, C мен G нүктелері Ω-ның бойында осындай ретпен орналасқан. BDF үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер AB кесіндісін екінші рет K нүктесінде қисын. CGE үшбұрышына сырттай сызылған шеңбер CA кесіндісін екінші рет L нүктесінде қисын. FK және GL түзулері әртүрлі және олар X нүктесінде қиылыссын. X нүктесі AO түзуінің бойында жататынын дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  3
3 года 2 месяца назад #

F и G - точки пересечения Ω и Γ, значит FGAO (так как FG - их рад. ось, а AO - линия центров).

Тогда, (!)XAO(!)FX=GX(!)GFX=XGF=GFK=LGF (ABC - ориентированный угол ABC).

Пусть GFK=α,LGF=γ,DFG=β,FGE=ω,GFA=AGF=θ.

(!)α=γ

Тогда справедливы следующие равенства:

LGE=LGF+FGE=γ+ω=LCEGCE=GCA+LCE=θ+γ+ω=GCB.

DFK=DFG+GFK=β+α=DBKDBF=DBK+KBF=α+β+θ

DFG=β=DEG=CEGCEG+EGC+GCEEGC=βθγωCGE=β+θ+γ+ω.CGF=CGE+EGF=β+θ+γ+ωω=β+γ+θ.

Но так как FGCB вписанный, CGF=CBF=DBFα+β+θ=β+θ+γα=γ.

Что и требовалось доказать.

пред. Правка 2   2
3 года 2 месяца назад #

https://imgur.com/a/uGwNmdx - чертеж