Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

56-я Международная Математическая Oлимпиада
Таиланд, Чиангмай, 2015 год


Пусть Ω — окружность, описанная около треугольника ABC, а точка O — ее центр. Окружность Γ с центром A пересекает отрезок BC в точках D и E так, что точки B, D, E и C все различны и лежат на прямой BC в указанном порядке. Пусть F и G — точки пересечения окружностей Γ и Ω, при этом точки A, F, B, C и G лежат на Ω в указанном порядке. Пусть K — вторая точка пересечения окружности, описанной около треугольника BDF и отрезка AB. Пусть L — вторая точка пересечения окружности, описанной около треугольника CGE, и отрезка CA. Пусть прямые FK и GL различны и пересекаются в точке X. Докажите, что точка X лежит на прямой AO.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  3
3 года 2 месяца назад #

F и G - точки пересечения Ω и Γ, значит FGAO (так как FG - их рад. ось, а AO - линия центров).

Тогда, (!)XAO(!)FX=GX(!)GFX=XGF=GFK=LGF (ABC - ориентированный угол ABC).

Пусть GFK=α,LGF=γ,DFG=β,FGE=ω,GFA=AGF=θ.

(!)α=γ

Тогда справедливы следующие равенства:

LGE=LGF+FGE=γ+ω=LCEGCE=GCA+LCE=θ+γ+ω=GCB.

DFK=DFG+GFK=β+α=DBKDBF=DBK+KBF=α+β+θ

DFG=β=DEG=CEGCEG+EGC+GCEEGC=βθγωCGE=β+θ+γ+ω.CGF=CGE+EGF=β+θ+γ+ωω=β+γ+θ.

Но так как FGCB вписанный, CGF=CBF=DBFα+β+θ=β+θ+γα=γ.

Что и требовалось доказать.

пред. Правка 2   2
3 года 2 месяца назад #

https://imgur.com/a/uGwNmdx - чертеж