56-я Международная Математическая Oлимпиада
Таиланд, Чиангмай, 2015 год
Пусть Ω — окружность, описанная около треугольника ABC, а точка O — ее центр. Окружность Γ с центром A пересекает отрезок BC в точках D и E так, что точки B, D, E и C все различны и лежат на прямой BC в указанном порядке. Пусть F и G — точки пересечения окружностей Γ и Ω, при этом точки A, F, B, C и G лежат на Ω в указанном порядке. Пусть K — вторая точка пересечения окружности, описанной около треугольника BDF и отрезка AB. Пусть L — вторая точка пересечения окружности, описанной около треугольника CGE, и отрезка CA.
Пусть прямые FK и GL различны и пересекаются в точке X. Докажите, что точка X лежит на прямой AO.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
F и G - точки пересечения Ω и Γ, значит FG⊥AO (так как FG - их рад. ось, а AO - линия центров).
Тогда, (!)X∈AO⇔(!)FX=GX⇔(!)∡GFX=∡XGF=∡GFK=∡LGF (∡ABC - ориентированный угол ABC).
Пусть ∡GFK=α,∡LGF=γ,∡DFG=β,∡FGE=ω,∡GFA=∡AGF=θ.
(!)α=γ
Тогда справедливы следующие равенства:
∡LGE=∡LGF+∡FGE=γ+ω=∡LCE⇒∡GCE=∡GCA+∡LCE=θ+γ+ω=∡GCB.
∡DFK=∡DFG+∡GFK=β+α=∡DBK⇒∡DBF=∡DBK+∡KBF=α+β+θ
∡DFG=β=∡DEG=∡CEG⇒∡CEG+∡EGC+∡GCE⇒∡EGC=−β−θ−γ−ω⇔∡CGE=β+θ+γ+ω.⇒∡CGF=∡CGE+∡EGF=β+θ+γ+ω−ω=β+γ+θ.
Но так как FGCB вписанный, ∡CGF=∡CBF=∡DBF⇔α+β+θ=β+θ+γ⇒α=γ.
Что и требовалось доказать.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.