Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан 56-шы халықаралық олимпиада, 2015 жыл, Чиангмай


AB>AC болатындай сүйірбұрышты ABC үшбұрышы берілген. Оның Γ сырттай сызылған шеңбері, H ортоцентрі, ал F нүктесі A төбесінен түсірілген биіктіктің табаны болсын. M нүктесі BC қабырғасының ортасы болсын. ∠HQA=90∘ болатындай Γ шеңберінен Q нүктесі, және ∠HKQ=90∘ болатын Γ шеңберінен K нүктесі алынған. A, B, C, K және Q нүктелері әртүрлі, және Γ шеңберінің бойында осындай ретпен орналассын.
KQH және FKM үшбұрыштарының сырттай сызылған шеңберлері бір бірін жанайтынын дәлелдеңіз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  3
2 года 10 месяца назад #

Решение: Рассмотрим инверсию с центром в точке H, что Γ→Γ.

Известно, что Q,H,M,Q′ лежат на одной прямой, причем MH=MQ′, а так же FH=FA′.

Легко понять, что AF′=AH,QM′=QH.

Заметим, что (KQH)→K′Q′, причем HQ′⊥K′Q′. Также (FKM)→(F′K′M′), причем HM′⊥F′M′.

Из ранее указанного: F′M′=2AQ=2K′Q′ и CQ′⊥Q′M′⊥F′M′.

Следовательно K′M′=K′F′⟹(F′K′M′) касается K′Q′, откуда из свойства инверсии следует требуемое.

ASDF
  0
6 месяца 16 дней назад #

При инверсии с центром H которая переводит опис окр ABC в окружность 9 точек ABC по лемме АТМО 2012 п4 Q=>M K=>L где L такой что ∠HML=90. Заметим что также A=>F и LM||AQ. Чтобы доказать касание нужно доказать то LM касается (AQL) отсюда нужно доказать что L лежит на середином перпендикуляре к AQ.

Пусть окружность 9 точек будет как γ тогда пусть AH∩gamma=K и QM∩gamma=N тогда заметим что так как KLMN прямоугольник отсюда следует требуемое.

IMO