Математикадан 39-шы халықаралық олимпиада, 1998 жыл, Тайбэй

Есеп №1. Дөңес $ABCD$ төртбұрышында $AC$ және $BD$ диагоналдары перпендикуляр, ал $AB$ және $CD$ қабырғалары параллель емес. $AB$ және $CD$ қабырғаларының орта перпендикулярлары $P$ нүктесінде төртбұрыштың ішінде қиылысады. Дәлелдеңіздер: $ABCD$ төртбұрышына сырттай шеңбер сызылады тек және тек сонда ғана егер $ABP$ және $CDP$ үбұрыштары тең болса.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. Жарысқа $a$ қатысушы қатысты, оларды $b$ әділ-қазылар бағалады, мұндағы $b$ — 3-тен кем емес тақ сан. Әрбір қатысушыға әділ-қазылар "қанағаттанарлық" немесе "қанағаттанарлық емес" деп баға қойды. Кез келген екі әділ-қазы үшін, олардан алған бағалары бірдей $k$ қатысушыдан аспайтындай $k$ саны бар. $\dfrac{k}{a}\ge \dfrac{b-1}{2b}$ теңсіздігін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3. $d\left( n \right)$ — $n$ натурал санының 1 мен $n$-өзін қосқандағы мүмкін болатын натурал бөлгіштерінің саны болсын. Әйтеуір бір $n$ үшін $\dfrac{d\left( {{n}^{2}} \right)}{d\left( n \right)}=k$ орындалатындай барлық $k$ натурал сандарын табыңыздар.
комментарий/решение

---

Есеп №4. ${{a}^{2}}b+a+b$ саны $a{{b}^{2}}+b+7$ санына бөлінетіндей барлық $\left( a,b \right)$ натурал сандар жұптарын табыңыздар.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №5. $I$ нүктесі $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің центрі болсын. Осы шеңбердің $BC$, $CA$, $AB$ қабырғаларын жанасу нүктелерін сәйкесінше $BC$, $CA$, $AB$ деп белгілейік. $B$ нүктесі арқылы $MK$ түзуіне жүргізілген параллель түзу $LM$ және $LK$ түзулерін сәйкесінше $R$ және $S$ нүктелерінде қияды. $RIS$ бұрышы сүйір екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №6.  Кез келген $s$ және $t$ натурал сандары үшін $f\left( {{t}^{2}}f\left( s \right) \right)=s{{\left( f\left( t \right) \right)}^{2}}$ орындалатындай барлық $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ функциялар қарастырылады. $f\left( 1998 \right)$ мәнінің мүмкін болатын ең кіші мәнін табыңыздар.
комментарий/решение(1)

---