Математикадан 39-шы халықаралық олимпиада, 1998 жыл, Тайбэй

Есеп №1. Дөңес

$ABCD$ төртбұрышында

$AC$ және

$BD$ диагоналдары перпендикуляр, ал

$AB$ және

$CD$ қабырғалары параллель емес.

$AB$ және

$CD$ қабырғаларының орта перпендикулярлары

$P$ нүктесінде төртбұрыштың ішінде қиылысады. Дәлелдеңіздер:

$ABCD$ төртбұрышына сырттай шеңбер сызылады тек және тек сонда ғана егер

$ABP$ және

$CDP$ үбұрыштары тең болса.
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Жарысқа

$a$ қатысушы қатысты, оларды

$b$ әділ-қазылар бағалады, мұндағы

$b$ — 3-тен кем емес тақ сан. Әрбір қатысушыға әділ-қазылар "қанағаттанарлық" немесе "қанағаттанарлық емес" деп баға қойды. Кез келген екі әділ-қазы үшін, олардан алған бағалары бірдей

$k$ қатысушыдан аспайтындай

$k$ саны бар.

$\dfrac{k}{a}\ge \dfrac{b-1}{2b}$ теңсіздігін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$d\left( n \right)$ —

$n$ натурал санының 1 мен

$n$ -өзін қосқандағы мүмкін болатын натурал бөлгіштерінің саны болсын. Әйтеуір бір

$n$ үшін

$\dfrac{d\left( {{n}^{2}} \right)}{d\left( n \right)}=k$ орындалатындай барлық

$k$ натурал сандарын табыңыздар.
комментарий/решение

Есеп №4.

${{a}^{2}}b+a+b$ саны

$a{{b}^{2}}+b+7$ санына бөлінетіндей барлық

$\left( a,b \right)$ натурал сандар жұптарын табыңыздар.
комментарий/решение(1)

Есеп №5.

$I$ нүктесі

$ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің центрі болсын. Осы шеңбердің

$BC$ ,

$CA$ ,

$AB$ қабырғаларын жанасу нүктелерін сәйкесінше

$BC$ ,

$CA$ ,

$AB$ деп белгілейік.

$B$ нүктесі арқылы

$MK$ түзуіне жүргізілген параллель түзу

$LM$ және

$LK$ түзулерін сәйкесінше

$R$ және

$S$ нүктелерінде қияды.

$RIS$ бұрышы сүйір екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №6. Кез келген

$s$ және

$t$ натурал сандары үшін

$f\left( {{t}^{2}}f\left( s \right) \right)=s{{\left( f\left( t \right) \right)}^{2}}$ орындалатындай барлық

$f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ функциялар қарастырылады.

$f\left( 1998 \right)$ мәнінің мүмкін болатын ең кіші мәнін табыңыздар.
комментарий/решение(1)

результаты