Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

39-я Международная Математическая Oлимпиада
Тайвань, Тайбэй, 1998 год


Пусть I — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Обозначим через K,L,M точки, в которых эта окружность касается сторон BC, CA, AB соответственно. Прямая, проведенная через точку B параллельно прямой MK пересекает прямые LM и LK в точках R и S соответственно. Докажите, что угол RIS острый.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2
1 года 9 месяца назад #

1) Пусть E,F,D середины ML,KL,MK соответственно и I - инцентр, тогда из условия задачи RS || MKBI тогда BREI, BSIF вписанные, откуда

RIS=BER+BFS=180(90A2)(90EBI)+180(90C2)(KBF+90B2)<90 или EBI<KBF

2) Пусть G симметрична точке E относительно BD, пусть NMEGKBD тогда IGNK откуда DIGFK вписанный в ω и так как BK2=BIBI из подобия BDK, BIK тогда BK касательная к ω требуется доказать что: IBG<KBF если AC или IBF<KBG если C<A. Рассмотрим случай IBF<KBG, так как первый аналогичен

3) Пусть WωBG, VωBF по другому IBF<KBG есть VI>WK или VFI>KGW

так как KG=DF тогда BWK=BVD, тогда BVsinVFI=BDsinBWK, BWKGW=BKsinBWK и так как sin(a)>sin(b), a>b откуда BVBK>BWBD что верно, так как  BK>BD,BV>BW последнее из того что BG>BF значит BFG>BGF.