39-я Международная Математическая Oлимпиада
Тайвань, Тайбэй, 1998 год
Комментарий/решение:
1) Пусть E,F,D середины ML,KL,MK соответственно и I - инцентр, тогда из условия задачи RS || MK⊥BI тогда BREI, BSIF вписанные, откуда
∠RIS=∠BER+∠BFS=180∘−(90∘−A2)−(90∘−∠EBI)+180∘−(90∘−C2)−(∠KBF+90−B2)<90 или ∠EBI<∠KBF
2) Пусть G симметрична точке E относительно BD, пусть N∈ME∩GK∩BD тогда IG⊥NK откуда DIGFK вписанный в ω и так как BK2=BI⋅BI из подобия BDK, BIK тогда BK касательная к ω требуется доказать что: ∠IBG<∠KBF если ∠A∠C или ∠IBF<∠KBG если ∠C<∠A. Рассмотрим случай ∠IBF<∠KBG, так как первый аналогичен
3) Пусть W∈ω∩BG, V∈ω∩BF по другому ∠IBF<∠KBG есть VI>WK или ∠VFI>∠KGW
так как KG=DF тогда ∠BWK=∠BVD, тогда BVsin∠VFI=BDsin∠BWK, BW∠KGW=BKsin∠BWK и так как sin(a)>sin(b), a>b откуда BV⋅BK>BW⋅BD что верно, так как BK>BD,BV>BW последнее из того что BG>BF значит ∠BFG>∠BGF.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.