39-я Международная Математическая Oлимпиада
Тайвань, Тайбэй, 1998 год

Задача №1.  В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны, а стороны $AB$ и $CD$ не параллельны. Серединные перпендикуляры к сторонам $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$, лежащей внутри четырехугольника $ABCD$. Докажите, что около четырехугольника $ABCD$ можно описать окружность тогда и только тогда, когда площади треугольников $ABP$ и $CDP$ равны.
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  На соревновании выступили $a$ участников, их оценивали $b$ судей, где $b$ — нечетное число, не меньшее 3. За выступление участника каждый судья ставил оценку «удовлетворительно» или «неудовлетворительно». Число $k$ таково, что для любых двух судей имеется не более $k$ участников, получивших у них одинаковые оценки. Докажите неравенство $\dfrac{k}{a}\ge \dfrac{b-1}{2b}$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  Пусть $d\left( n \right)$ — количество всевозможных натуральных делителей натурального числа $n$, включая 1 и само $n$. Найдите все такие натуральные числа $k$, что $\dfrac{d\left( {{n}^{2}} \right)}{d\left( n \right)}=k$ при каком-либо $n$.
комментарий/решение

---

Задача №4.  Найдите все пары $\left( a,b \right)$ натуральных чисел такие, что ${{a}^{2}}b+a+b$ делится на $a{{b}^{2}}+b+7$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №5.  Пусть $I$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Обозначим через $K,L,M$ точки, в которых эта окружность касается сторон $BC$, $CA$, $AB$ соответственно. Прямая, проведенная через точку $B$ параллельно прямой $MK$ пересекает прямые $LM$ и $LK$ в точках $R$ и $S$ соответственно. Докажите, что угол $RIS$ острый.
комментарий/решение(1)

---

Задача №6.  Рассматриваются все функции $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ удовлетворяющие равенству $f\left( {{t}^{2}}f\left( s \right) \right)=s{{\left( f\left( t \right) \right)}^{2}}$ для любых натуральных $s$ и $t$. Найдите наименьшее возможное значение $f\left( 1998 \right)$.
комментарий/решение(1)

---