39-я Международная Математическая OлимпиадаТайвань, Тайбэй, 1998 год

В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны, а стороны $AB$ и $CD$ не параллельны. Серединные перпендикуляры к сторонам $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$, лежащей внутри четырехугольника $ABCD$. Докажите, что около четырехугольника $ABCD$ можно описать окружность тогда и только тогда, когда площади треугольников $ABP$ и $CDP$ равны.

Комментарий/решение

Если $AC _\perp BD$ и $ABCD$ вписанный, тогда $P$ - центр описанной окружности, откуда $PA=PB=PC=PD=R$ и так как $S_{ABP}=R^2 \cdot \sin \angle 2ACB = R^2 \cdot \sin(180-2 \angle ACB) = S_{CDP}$.

Пусть теперь $S_{ABP}=S_{CDP}$ и $ABCD$ вписанный, покажем что $AC \perp BD$

$E, F$ основания серединных перпендикуляров к $AB, \ CD$ тогда $P$ центр описанной окружности так как $PF \cdot DF = PE \cdot AE$ и $PF^2+DF^2=PE^2+AE^2$ откуда

$(PE^2-DF^2)(AE^2-DF^2)=0$ значит $PE=DF$ или $AE=DF$ но так как $AB ∦ CD$ тогда $PE=DF$ так как при $AE=DF$ получается $AB || CD$ значит $\angle APB + \angle CPD = 180^{\circ}$ или $AC \perp BD$