Processing math: 81%

Математикадан 39-шы халықаралық олимпиада, 1998 жыл, Тайбэй


Дөңес ABCD төртбұрышында AC және BD диагоналдары перпендикуляр, ал AB және CD қабырғалары параллель емес. AB және CD қабырғаларының орта перпендикулярлары P нүктесінде төртбұрыштың ішінде қиылысады. Дәлелдеңіздер: ABCD төртбұрышына сырттай шеңбер сызылады тек және тек сонда ғана егер ABP және CDP үбұрыштары тең болса.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2
1 года 9 месяца назад #

Если ACBD и ABCD вписанный, тогда P - центр описанной окружности, откуда PA=PB=PC=PD=R и так как SABP=R2sin2ACB=R2sin(1802ACB)=SCDP.

Пусть теперь SABP=SCDP и ABCD вписанный, покажем что ACBD

E,F основания серединных перпендикуляров к AB, CD тогда P центр описанной окружности так как PFDF=PEAE и PF2+DF2=PE2+AE2 откуда

(PE2DF2)(AE2DF2)=0 значит PE=DF или AE=DF но так как AB ∦ CD тогда PE=DF так как при AE=DF получается AB || CD значит \angle APB + \angle CPD = 180^{\circ} или AC \perp BD