Математикадан 39-шы халықаралық олимпиада, 1998 жыл, Тайбэй
Дөңес ABCD төртбұрышында AC және BD диагоналдары перпендикуляр, ал AB және CD қабырғалары параллель емес. AB және CD қабырғаларының орта перпендикулярлары P нүктесінде төртбұрыштың ішінде қиылысады. Дәлелдеңіздер: ABCD төртбұрышына сырттай шеңбер сызылады тек және тек сонда ғана егер ABP және CDP үбұрыштары тең болса.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Если AC⊥BD и ABCD вписанный, тогда P - центр описанной окружности, откуда PA=PB=PC=PD=R и так как SABP=R2⋅sin∠2ACB=R2⋅sin(180−2∠ACB)=SCDP.
Пусть теперь SABP=SCDP и ABCD вписанный, покажем что AC⊥BD
E,F основания серединных перпендикуляров к AB, CD тогда P центр описанной окружности так как PF⋅DF=PE⋅AE и PF2+DF2=PE2+AE2 откуда
(PE2−DF2)(AE2−DF2)=0 значит PE=DF или AE=DF но так как AB ∦ CD тогда PE=DF так как при AE=DF получается AB || CD значит \angle APB + \angle CPD = 180^{\circ} или AC \perp BD
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.