қазақша
русскийМатематикадан жасөспірімдер арасындағы 14-ші Балкан олимпиадасы 2010 жыл, Olanesti, Румыния
Есеп №1. $a$, $b$, $c$, $d$ нақты сандары үшін келесі теңдіктер орындалады: $abc -d = 1, \ \ \ bcd - a = 2, \ \ \ cda- b = 3, \ \ \ dab - c = -6.$
$a + b + c + d \not = 0$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. $n \cdot 2^{n+1}+1$ саны толық квадрат болатындай барлық $n$ натурал сандарын табыңыздар.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №3. $AL$ және $BK$ — теңбүйірлі емес $ABC$ үшбұрышының биссектрисалары. $BK$ биссектрисасының орта перпендикуляры $AL$ түзуін $M$ нүктесінде қияды. $LN$ түзуі $MK$ түзуіне параллель болатындай $N$ нүктесі $BK$ түзуінде жатады. $LN=NA$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №4. $9 \times 7$ тіктөртбұрышы екі түрлі фигуралармен жабылған:
1) үш бірлік шаршылардан тұратын бұрыш (бұрышты бірнеше рет $90^\circ$-қа бұруға болады);
2) төрт бірлік шаршылардан тұратын квадрат;
$ n \ge 0$-жабуға қолданылған екінші түрдегі фигуралар саны болсын. Мүмкін болатын $n$ мәндерін табыңыздар.
комментарий/решение(1)
1) үш бірлік шаршылардан тұратын бұрыш (бұрышты бірнеше рет $90^\circ$-қа бұруға болады);
2) төрт бірлік шаршылардан тұратын квадрат;
$ n \ge 0$-жабуға қолданылған екінші түрдегі фигуралар саны болсын. Мүмкін болатын $n$ мәндерін табыңыздар.
комментарий/решение(1)