Математикадан жасөспірімдер арасындағы 14-ші Балкан олимпиадасы 2010 жыл, Olanesti, Румыния

Есеп №1.

$a$ ,

$b$ ,

$c$ ,

$d$ нақты сандары үшін келесі теңдіктер орындалады:

$abc -d = 1, \ \ \ bcd - a = 2, \ \ \ cda- b = 3, \ \ \ dab - c = -6.$

$a + b + c + d \not = 0$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №2.

$n \cdot 2^{n+1}+1$ саны толық квадрат болатындай барлық

$n$ натурал сандарын табыңыздар.
комментарий/решение(2)

Есеп №3.

$AL$ және

$BK$ — теңбүйірлі емес

$ABC$ үшбұрышының биссектрисалары.

$BK$ биссектрисасының орта перпендикуляры

$AL$ түзуін

$M$ нүктесінде қияды.

$LN$ түзуі

$MK$ түзуіне параллель болатындай

$N$ нүктесі

$BK$ түзуінде жатады.

$LN=NA$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(2)

Есеп №4.

$9 \times 7$ тіктөртбұрышы екі түрлі фигуралармен жабылған:
1) үш бірлік шаршылардан тұратын бұрыш (бұрышты бірнеше рет

$90^\circ$ -қа бұруға болады);
2) төрт бірлік шаршылардан тұратын квадрат;

$n \ge 0$ -жабуға қолданылған екінші түрдегі фигуралар саны болсын. Мүмкін болатын

$n$ мәндерін табыңыздар.
комментарий/решение(1)

результаты