14-я Балканская математическая олимпиада среди юниоровЖудец Вылча, Румыния, 2010 год

Найдите все натуральные $n$ такие, что $n \cdot 2^{n+1}+1$ — точный квадрат.

Комментарий/решение

Ответ:n=3. Заметим, что число $n\cdot 2^{n+1}+1=A$ нечетное. Поэтому пусть $A=(2k+1)^{2}.$Получаем $n\cdot 2^{n+1}=4k(k+1)$. Т.к. $1\leq n$ то число $2^{n-1}$ целое. Значит $k(k+1)=2^{n-1}\cdot n$. Мы знаем, что $НОД(k,k+1)=1$ поэтому только одно из чисел ${k,k+1}$ делится на степень двойки. Рассмотрим случаи: $a)$ $2^{n-1}\mid k$, тогда $k+1\mid n$, получаем неравенства $2^{n-1}\leq k$ , $k+1\leq n$. Значит $2^{n-1}+1\leq n$, но неравенство неверное при $1\leq n$

$b)$ $2^{n-1}\leq k+1$, $k\leq n$ $\Rightarrow$ $2^{n-1}\leq n+1$. При $4\leq n$ неравенство не верное. Значит $n\leq 3$. $n=1$ $\Rightarrow$ A=5$,$n=2A=17$,$n=3A=49$

$1)$ случай пусть $n=2k$ тогда $k*2^{2k+2}+1=x^2$ тогда $k*2^{2k+2}=(x-1)(x+1)$ тогда решений нету

$2)$ случай $n=2k+1$ тогда $(2k+1)*2^{2k+2}=(x-1)(x+1)$ тогда т.к. $x$ нечет то оба из этих чет заметим что обязательно одно из них делится на $2$ а другое на $2^{2k+1}$ тогда макс $x-1=4k+2,x+1=2^{2k+1}$ Только в этом случай имеется решение иначе если $k=ab$ где $a,b\geq 2$ то $x+1=2^{2k+1}*a>b2$ тогда $4k+4=2^{2k+1}\Rightarrow k+1=2^{2k-1}$заметим что при $k \geq 2$ нету решений т.к. зная что $2^k>k$ то $2^{2k-1}>k+1$