14-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Жудец Вылча, Румыния, 2010 год
Задача №1. Действительные числа a, b, c, d одновременно удовлетворяют уравнениям abc−d=1, bcd−a=2, cda−b=3, dab−c=−6. Докажите, что a+b+c+d≠0.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Пусть AL и BK — биссектрисы неравнобедренного треугольника ABC. Серединный перпендикуляр к биссектрисе BK пересекает прямую AL в точке M. Точка N лежит на прямой BK так, что LN параллельна MK. Докажите, что LN=NA.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №4. Прямоугольник 9×7 замощен фигурами двух типов:
1) уголок, состоящий из трёх единичных квадратиков (уголок можно неоднократно поворачивать на 90∘);
2) квадрат, состоящий из четырёх единичных квадратиков.
Пусть n≥0 — количество фигур второго типа, используемых в замощении. Найдите всевозможные значения n.
комментарий/решение(1)
1) уголок, состоящий из трёх единичных квадратиков (уголок можно неоднократно поворачивать на 90∘);
2) квадрат, состоящий из четырёх единичных квадратиков.
Пусть n≥0 — количество фигур второго типа, используемых в замощении. Найдите всевозможные значения n.
комментарий/решение(1)