Processing math: 100%

14-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Жудец Вылча, Румыния, 2010 год


Задача №1.  Действительные числа a, b, c, d одновременно удовлетворяют уравнениям abcd=1,   bcda=2,   cdab=3,   dabc=6. Докажите, что a+b+c+d0.
комментарий/решение(1)
Задача №2.  Найдите все натуральные n такие, что n2n+1+1 — точный квадрат.
комментарий/решение(2)
Задача №3.  Пусть AL и BK — биссектрисы неравнобедренного треугольника ABC. Серединный перпендикуляр к биссектрисе BK пересекает прямую AL в точке M. Точка N лежит на прямой BK так, что LN параллельна MK. Докажите, что LN=NA.
комментарий/решение(2)
Задача №4.  Прямоугольник 9×7 замощен фигурами двух типов:
1) уголок, состоящий из трёх единичных квадратиков (уголок можно неоднократно поворачивать на 90);
2) квадрат, состоящий из четырёх единичных квадратиков.
Пусть n0 — количество фигур второго типа, используемых в замощении. Найдите всевозможные значения n.
комментарий/решение(1)
результаты