Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

14-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Жудец Вылча, Румыния, 2010 год


Действительные числа a, b, c, d одновременно удовлетворяют уравнениям abcd=1,   bcda=2,   cdab=3,   dabc=6. Докажите, что a+b+c+d0.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2
3 года 10 месяца назад #

Будем идти от противного, пусть a+b+c+d=0. Если просуммировать все уравнения выйдет что abc+bcd+acd+abd=0 (1). А если подставить d=(a+b+c) в (1), тогда (a+b)(b+c)(a+c)=0. Рассмотрим a+b=0(для остальных аналогично). 2+3=(bcda)+(cdab)=(a+b)(cd1)=0

но это невозможно. Противоречие.