14-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Жудец Вылча, Румыния, 2010 год
Действительные числа a, b, c, d одновременно удовлетворяют уравнениям abc−d=1, bcd−a=2, cda−b=3, dab−c=−6. Докажите, что a+b+c+d≠0.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Будем идти от противного, пусть a+b+c+d=0. Если просуммировать все уравнения выйдет что abc+bcd+acd+abd=0 (1). А если подставить d=−(a+b+c) в (1), тогда (a+b)(b+c)(a+c)=0. Рассмотрим a+b=0(для остальных аналогично). 2+3=(bcd−a)+(cda−b)=(a+b)(cd−1)=0
но это невозможно. Противоречие.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.