Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

14-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Жудец Вылча, Румыния, 2010 год


Пусть AL и BK — биссектрисы неравнобедренного треугольника ABC. Серединный перпендикуляр к биссектрисе BK пересекает прямую AL в точке M. Точка N лежит на прямой BK так, что LN параллельна MK. Докажите, что LN=NA.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   3
3 года назад #

Опишем около треугольника ABK окружность ω, так как AL биссектриса и EM серединный перпендикуляр , тогда Mω , значит ABK=AMK=ALN откуда ABLN вписанный NAL=NBL=ABN=ALN то есть LN=NA

  5
3 года назад #

Лемма

Серединный перпендикуляр к стороне и биссектриса угла противолежащей к ней пересекаются на описанной окружности треугольника

К задаче, из леммы получаем что ABKM-вписанный, заметим что ABK=AMK=ALN, отсюда ABLN-вписанный и так как BN биссектриса то AN=NL