Математикадан жасөспірімдер арасындағы 14-ші Балкан олимпиадасы 2010 жыл, Olanesti, Румыния

$AL$ және $BK$ — теңбүйірлі емес $ABC$ үшбұрышының биссектрисалары. $BK$ биссектрисасының орта перпендикуляры $AL$ түзуін $M$ нүктесінде қияды. $LN$ түзуі $MK$ түзуіне параллель болатындай $N$ нүктесі $BK$ түзуінде жатады. $LN=NA$ екенін дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

Опишем около треугольника $ABK$ окружность $\omega$, так как $AL$ биссектриса и $EM$ серединный перпендикуляр , тогда $M \in \omega$ , значит $\angle ABK = \angle AMK = \angle ALN$ откуда $ ABLN$ вписанный $\angle NAL = \angle NBL = \angle ABN = \angle ALN $ то есть $LN=NA$

Лемма

Серединный перпендикуляр к стороне и биссектриса угла противолежащей к ней пересекаются на описанной окружности треугольника

К задаче, из леммы получаем что $ABKM$-вписанный, заметим что $\angle ABK=\angle AMK=\angle ALN$, отсюда $ABLN$-вписанный и так как $BN$ биссектриса то $AN$=$NL$