Математикадан жасөспірімдер арасындағы 11-ші Балкан олимпиадасы 2007 жыл, Шумен, Болгария

Есеп №1.

$a$ саны

$a^{3}=6(a+1)$ теңдігі орындалатындай оң нақты сан болсын.

$x^{2}+ax+a^{2}-6=0$ теңдеуінің нақты түбірлері болмайтынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(3)

Есеп №2. Дөңес

$ABCD$ төртбұрышында

$\angle{DAC}= \angle{BDC}= 36^\circ$ ,

$\angle{CBD}= 18^\circ$ және

$\angle{BAC}= 72^\circ$ екені белгілі. Төртбұрыштың диагоналдары

$P$ нүктесінде қиылысады.

$APD$ бұрышының мәнін табыңыздар.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Ешбірі бір түзудің бойында жатпайтындай жазықтықтан 50 нүкте берілген. Әрбір нүктені төрт түстің біреуіне бояды. Төбелері бір түстен болатын, қабырғалары тең емес кем дегенде 130 үшбұрыш табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №4.

$p$ — жай сан.

$7p+3^{p}-4$ саны толық квадрат емес екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(12)

результаты