Математикадан жасөспірімдер арасындағы 11-ші Балкан олимпиадасы 2007 жыл, Шумен, Болгария

Есеп №1. $a$ саны $a^{3}=6(a+1)$ теңдігі орындалатындай оң нақты сан болсын. $x^{2}+ax+a^{2}-6=0$ теңдеуінің нақты түбірлері болмайтынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(3)

---

Есеп №2. Дөңес $ABCD$ төртбұрышында $\angle{DAC}= \angle{BDC}= 36^\circ$, $\angle{CBD}= 18^\circ$ және $\angle{BAC}= 72^\circ$ екені белгілі. Төртбұрыштың диагоналдары $P$ нүктесінде қиылысады. $APD$ бұрышының мәнін табыңыздар.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3. Ешбірі бір түзудің бойында жатпайтындай жазықтықтан 50 нүкте берілген. Әрбір нүктені төрт түстің біреуіне бояды. Төбелері бір түстен болатын, қабырғалары тең емес кем дегенде 130 үшбұрыш табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение

---

Есеп №4. $ p$ — жай сан. $ 7p+3^{p}-4$ саны толық квадрат емес екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(10)

---