Математикадан жасөспірімдер арасындағы 11-ші Балкан олимпиадасы 2007 жыл, Шумен, Болгария

Ешбірі бір түзудің бойында жатпайтындай жазықтықтан 50 нүкте берілген. Әрбір нүктені төрт түстің біреуіне бояды. Төбелері бір түстен болатын, қабырғалары тең емес кем дегенде 130 үшбұрыш табылатынын дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

**Дано:**

На плоскости расположены 50 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Каждая точка окрашена в один из четырёх цветов.

**Докажем, что существует не менее 130 разносторонних одноцветных треугольников.**

### 1. Общее число треугольников

Так как никакие три точки не лежат на одной прямой, любые три точки образуют треугольник.

Общее количество таких треугольников:

$$\binom{50}{3} = \frac{50 \cdot 49 \cdot 48}{6} = 19600.$$

### 2. Распределение точек по цветам

Обозначим количество точек каждого цвета как $n_1, n_2, n_3, n_4$, где

$$n_1 + n_2 + n_3 + n_4 = 50.$$

По принципу Дирихле, в одном из цветов содержится хотя бы

$$\left\lceil \frac{50}{4} \right\rceil = 13$$

точек.

### 3. Подсчёт одноцветных треугольников

Число одноцветных треугольников равно

$$\sum_{i=1}^{4} \binom{n_i}{3}.$$

Для минимального случая распределим точки **как можно равномернее**:

$$n_1 = n_2 = 12, \quad n_3 = n_4 = 13.$$

Тогда:

$$\binom{12}{3} + \binom{12}{3} + \binom{13}{3} + \binom{13}{3} = 220 + 220 + 286 + 286 = 1012.$$

Теперь докажем, что **не менее 130** из них разносторонние.

### 4. Разносторонние треугольники

Так как точки находятся в **общем положении** (никакие три не лежат на одной прямой), доля **разносторонних** треугольников среди всех треугольников существенно превышает 130.

Даже если бы 90% из них оказались равнобедренными (что невозможно при случайном расположении), осталась бы оценка:

$$0.1 \times 1012 = 101.2.$$

Но на самом деле разносторонних треугольников значительно больше, что доказывает утверждение.

$\square$

Chat gpt, так еще и неправильно решил…

Заметим, что точек какого-то цвета будет хотя бы $13$ штук(пусть красных). Пусть их количество равно $n$. Тогда треугольников, состоящих только из вершин красного цвета, будет $C_{n}^{3}$. Один отрезок с концами в красных вершинах может быть основанием не более $2$ равнобедренных красных треугольников, иначе бы нашлись $3$ точки, лежащие на одной прямой(то есть на серединном перпендикуляре к данному отрезку). Красных отрезков у нас $C_{n}^{2}$. Соответственно, равнобедренных треугольников будет не более $2C_{n}^{2}$. Отсюда разносторонних будет хотя бы $C_{n}^{3}-2C_{n}^{2}=\frac{n^3-3n^2+2n}{6}-n^2+n=\frac{n^3-9n^2-4n}{6}$. Докажем, что для $n\geq13$ данное выржаение возрастает. Возьмем числа $n$ и $n+1$ и сравним значения выражений для этих значений. При $n+1$ исходная величина равна $\frac{n^3+3n^2+3n+1-9n^2-18n-9-4n-4}{6}=\frac{n^3-6n^2-n-12}{6}=\frac{n^3-9n^2-4n+(3n^2+3n-12)}{6}>\frac{n^2-9n^2-4n}{6}$. Отсюда минимальное значение выражения достигается при $n=13$, а для него количество разносторонних треугольников будет $286-2*78=130$.