Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

11-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Шумен, Болгария, 2007 год


Задача №1.  Пусть a такое положительное действительное число, для которого выполнено равенство a3=6(a+1). Докажите, что уравнение x2+ax+a26=0 не имеет действительных корней.
комментарий/решение(3)
Задача №2.  В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно DAC=BDC=36, CBD=18 и BAC=72. Диагонали четырёхугольника пересекаются в точке P. Найдите значение угла APD.
комментарий/решение(1)
Задача №3.  На плоскости даны 50 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Каждую из данных точек покрасили в один из четырёх цветов. Докажите, что существует не менее 130 разносторонних треугольников, все вершины которого имеют один и тот же цвет.
комментарий/решение(1)
Задача №4.  Пусть p — простое число. Докажите, что число 7p+3p4 не является полным квадратом.
комментарий/решение(12)
результаты