11-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Шумен, Болгария, 2007 год
Задача №1. Пусть a такое положительное действительное число, для которого выполнено равенство a3=6(a+1). Докажите, что уравнение x2+ax+a2−6=0 не имеет действительных корней.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №2. В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно ∠DAC=∠BDC=36∘, ∠CBD=18∘ и ∠BAC=72∘. Диагонали четырёхугольника пересекаются в точке P. Найдите значение угла APD.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. На плоскости даны 50 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Каждую из данных точек покрасили в один из четырёх цветов. Докажите, что существует не менее 130 разносторонних треугольников, все вершины которого имеют один и тот же цвет.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Пусть p — простое число. Докажите, что число 7p+3p−4 не является полным квадратом.
комментарий/решение(12)
комментарий/решение(12)