11-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров Шумен, Болгария, 2007 год

Пусть $a$ такое положительное действительное число, для которого выполнено равенство $a^{3}=6(a+1)$. Докажите, что уравнение $x^{2}+ax+a^{2}-6=0$ не имеет действительных корней.

Комментарий/решение

$\textbf{Решение:}$ Для того чтобы уравнение $x^2+ax+a^2-6=0$ не имело решение, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство

$$D=a^2-4(a^2-6)=24-3a^2=3(8-a^2)<0\Leftrightarrow 8-a^2<0.$$

Теперь докажем неравенство $8-a^2<0$, учитывая условие $a^3=6(a+1)$.Доказательство этого неравенства весьма просто.

$\textbf{Доказательство от противного:}$ Предполагая, что $8-a^2\geq 0$, получим противоречие: $6(a+1)=a^3=a\cdot a^2 \leq 8a \Rightarrow a \geq 3.$

$\textbf{Замечание:}$ Уравнение $a^3=6(a+1)$ имеет единственное решение: $a=\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}>2\sqrt{2}.$