Математикадан жасөспірімдер арасындағы 11-ші Балкан олимпиадасы 2007 жыл, Шумен, Болгария
a саны a3=6(a+1) теңдігі орындалатындай оң нақты сан болсын. x2+ax+a2−6=0 теңдеуінің нақты түбірлері болмайтынын дәлелдеңіздер.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Решение: Для того чтобы уравнение x2+ax+a2−6=0 не имело решение, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство
D=a2−4(a2−6)=24−3a2=3(8−a2)<0⇔8−a2<0.
Теперь докажем неравенство 8−a2<0, учитывая условие a3=6(a+1).Доказательство этого неравенства весьма просто.
Доказательство от противного: Предполагая, что 8−a2≥0, получим противоречие: 6(a+1)=a3=a⋅a2≤8a⇒a≥3.
Замечание: Уравнение a3=6(a+1) имеет единственное решение: a=3√2+3√4>2√2.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.