11-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров Шумен, Болгария, 2007 год

Пусть $ p$ — простое число. Докажите, что число $ 7p+3^{p}-4$ не является полным квадратом.

Комментарий/решение

$\textbf{Решение:}$ По Малой теореме Ферма $3^p-3$ делится на $p$. Тогда число $7p+3^p-4$ при делении на $p$ дает остаток $-1$.Любое простое число при делении на $4$ дает остаток $1$, либо $3$. Так как $p -$ простое число, то необходимо рассмотреть два случая:

$\textbf{Случай №1.}$ $p=4k+3 \Rightarrow 7p+3^p-4=7(4k+3)+3^{4k+3}-4=28k+3^{4k+3}+17\equiv -1 \quad (mod \quad p) \Rightarrow (28k+3^{4k+3}+17)^{2k+1}\equiv (-1)^{2k+1}=-1 \quad (mod \quad p) $

С другой стороны, число $7p+3^p-4$ является полным квадратом, то есть $7p+3^p-4=x^2, \quad x\in \mathbb{Z}$. Тогда имеем противоречие: $$-1=(-1)^{2k+1}\equiv(28k+3^{4k+3}+17)^{2k+1} = (x^2)^{2k+1}=x^{4k+2}=x^{p-1}\equiv 1\quad (mod \quad p) $$

$\textbf{Случай №2.}$ $p=4k+1 \Rightarrow 7p+3^p-4=7(4k+1)+3^{4k+1}-4=28k+3+3^{4k+1}=4\cdot 7k+(3^{4k+1}+1)+2\equiv 2\quad (mod \quad 4) $ Но это противоречит условию задачи, так как квадрат целого числа не может давать остаток $2$ при делении на $4$.

$Решение$:

Как пример выше, мы знаем что если к начальному примеру прибавить 1, то оно будет делиться на $p$.

$i)$ Если прибавить 1, то справа будет $a^2$+1 которое тоже будет делиться на $p$.

$ii)$ Используя $mod$ 4, получаем что $p=4k+3$ (сразу исключаем пример когда $p$-четное когда сравниваем по $mod$ 4).

$iii)$ Так как $a^2$+1 делится на p, то соответсвенно оно делится на $4k+3$.

Но если так подумать..

Это невозможно, ибо по Лемме$(1)$ $a$ и $1$ делится на $p$, но 1 не может делиться на $p$.

$(1)$ Лемма:

Если какие ни-будь $a^2$+$b^2$ делится на $p$ где $p$ вида $4k+3$, то $a$ и $b$ делятся на $p$ ($p$-простое)

$Доказательство$:

Допустим что это не так.И $(a;b,p)$=1.

$a^2$ оставляет $-b^2$ $(mod$ $p$)

соответсвенно $a^{4k+2}$ оставляет $-b^{4k+2}$ ($mod$ $p$)

но по Малой Теореме Ферма $a ^{4k+2},b^{4k+2}$ оставляют 1 по модулю $p$

Противоречие. Значит $a,b$ делится на $p$.

Если что, эта лемма называется теоремой Жерара (если понадобится)

скинь ссылку, не могу найти

Не могу загрузить саму книгу, вот скрин:

Вы будите отдыхать? сидите задачи решаете. С окончанием учебного года! Лучше празднуйте этот день!

Кстати да, с праздником всех

Абен, как я знаю вы закончили 11 класс в этом году

удачи с поступлением и с жизнью студента! (могу ошибаться, буду рад если подправите)

Да вы правы. Как приятно такое слышать от человека которого почти не знаешь

не уверен что это теорема, но хорошо.

можете скинуть мне книгу? думаю она интересная.

мой телеграм- qw1304

email- [e-mail]