Processing math: 79%

11-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Шумен, Болгария, 2007 год


Пусть p — простое число. Докажите, что число 7p+3p4 не является полным квадратом.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   0
4 года 8 месяца назад #

Решение: По Малой теореме Ферма 3p3 делится на p. Тогда число 7p+3p4 при делении на p дает остаток 1.Любое простое число при делении на 4 дает остаток 1, либо 3. Так как p простое число, то необходимо рассмотреть два случая:

Случай №1. p=4k+37p+3p4=7(4k+3)+34k+34=28k+34k+3+171(modp)(28k+34k+3+17)2k+1(1)2k+1=1(modp)

С другой стороны, число 7p+3p4 является полным квадратом, то есть 7p+3p4=x2,xZ. Тогда имеем противоречие: 1=(1)2k+1(28k+34k+3+17)2k+1=(x2)2k+1=x4k+2=xp11(modp)

Случай №2. p=4k+17p+3p4=7(4k+1)+34k+14=28k+3+34k+1=47k+(34k+1+1)+22(mod4) Но это противоречит условию задачи, так как квадрат целого числа не может давать остаток 2 при делении на 4.

пред. Правка 2   1
3 года 10 месяца назад #

Решение:

Как пример выше, мы знаем что если к начальному примеру прибавить 1, то оно будет делиться на p.

i) Если прибавить 1, то справа будет a2+1 которое тоже будет делиться на p.

ii) Используя mod 4, получаем что p=4k+3 (сразу исключаем пример когда p-четное когда сравниваем по mod 4).

iii) Так как a2+1 делится на p, то соответсвенно оно делится на 4k+3.

Но если так подумать..

Это невозможно, ибо по Лемме(1) a и 1 делится на p, но 1 не может делиться на p.

(1) Лемма:

Если какие ни-будь a2+b2 делится на p где p вида 4k+3, то a и b делятся на p (p-простое)

Доказательство:

Допустим что это не так.И (a;b,p)=1.

a2 оставляет b2 (mod p)

соответсвенно a4k+2 оставляет b4k+2 (mod p)

но по Малой Теореме Ферма a4k+2,b4k+2 оставляют 1 по модулю p

Противоречие. Значит a,b делится на p.

  0
3 года 9 месяца назад #

Если что, эта лемма называется теоремой Жерара (если понадобится)

  0
3 года 9 месяца назад #

скинь ссылку, не могу найти

  0
3 года 9 месяца назад #

Не могу загрузить саму книгу, вот скрин:

  2
3 года 9 месяца назад #

Вы будите отдыхать? сидите задачи решаете. С окончанием учебного года! Лучше празднуйте этот день!

  2
3 года 9 месяца назад #

Кстати да, с праздником всех

  1
3 года 9 месяца назад #

Абен, как я знаю вы закончили 11 класс в этом году

удачи с поступлением и с жизнью студента! (могу ошибаться, буду рад если подправите)

  1
3 года 9 месяца назад #

Да вы правы. Как приятно такое слышать от человека которого почти не знаешь

  0
3 года 9 месяца назад #

не уверен что это теорема, но хорошо.

можете скинуть мне книгу? думаю она интересная.

мой телеграм- qw1304

email- jolynefag@gmail.com

  0
1 месяца 13 дней назад #

Решение: Докажем от противного. Допустим что число 7p+3^p-4 является точным квадратом для какого то натурального числа n . Тогда рассмотрев по модулю 2 понимаем что n^2 делиться на 4 откуда и число 7p+3^p-4 делиться на 4. Значит рассмотрев по модулю 4, понимаем что простое чило p имеет вид 4k+3. Заметим что по Великой Теореме Ферма чило 7p+3^p-3 делиться на p. Откуда и число n^2+1 делиться на p. Но по теореме Жирара 1 должен делиться на p. Противоречие.

Замечание: Мы рассмотрели для всех нечетных p. Но остается случай где p=2 но это тоже невозможно

  0
21 дней 11 часов назад #

**По малая теореме Ферма:**

Если p — простое число и a — целое число, не делящееся на p, то выполняется сравнение:

a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}

**Доказательство:**

Рассмотрим множество остатков по модулю p:

S = \{a, 2a, 3a, \dots, (p-1)a\}

Так как a не делится на p, то все элементы S попарно различны по модулю p.

Это означает, что S является перестановкой множества:

\{1, 2, 3, \dots, p-1\}

Следовательно, их произведения сравнимы по модулю p:

(a \cdot 2a \cdot 3a \cdots (p-1)a) \equiv (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (p-1)) \pmod{p}

Вынесем a^{p-1} за скобки:

a^{p-1} \cdot (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (p-1)) \equiv (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (p-1)) \pmod{p}

Так как 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot (p-1) взаимно просто с p, можно сократить:

a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}

Доказана. \square