10-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Кишинёв, Молдавия, 2006 год
Задача №1. Пусть n>4 — составное число. Докажите, что число (n−1)! делится на 2n нацело.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №2. В равнобедренном треугольнике ABC (AB=AC) угол BAC меньше 60∘. На стороне AC выбраны точки D и E такие, что EB=ED и ∠ABD=∠CBE. Внутренние биссектрисы углов ∠BDC и ∠ACB пересекаются в точке O. Найдите угол COD.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №3. Натуральное число называется совершенным, если оно вдвое меньше суммы всех своих натуральных делителей. Найдите все совершенные числа n, для которых оба числа n−1 и n+1 являются простыми.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Рассмотрим таблицу размера 2n×2n. Из i-ой строки мы удаляем центральные 2(i−1) единичных клеток. Какое максимальное количество прямоугольников 2×1 и 1×2 могут быть помещены в полученную фигуру так, чтобы они не пересекались и не выходили за границы фигуры?
комментарий/решение(9)
комментарий/решение(9)