10-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Кишинёв, Молдавия, 2006 год

Задача №1.  Пусть $n > 4$ — составное число. Докажите, что число ${(n-1)!}$ делится на $2n$ нацело.
комментарий/решение(2)

---

Задача №2.  В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=AC$) угол $BAC$ меньше $60^{\circ}$. На стороне $AC$ выбраны точки $D$ и $E$ такие, что $EB=ED$ и $\angle{ABD} = \angle{CBE}$. Внутренние биссектрисы углов $\angle{BDC}$ и $\angle{ACB}$ пересекаются в точке $O$. Найдите угол $ COD$.
комментарий/решение(3)

---

Задача №3.  Натуральное число называется совершенным, если оно вдвое меньше суммы всех своих натуральных делителей. Найдите все совершенные числа $n$, для которых оба числа $n-1$ и $n+1$ являются простыми.
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  Рассмотрим таблицу размера $2n \times 2n$. Из $i$-ой строки мы удаляем центральные $2(i-1)$ единичных клеток. Какое максимальное количество прямоугольников $2 \times 1$ и $1 \times 2$ могут быть помещены в полученную фигуру так, чтобы они не пересекались и не выходили за границы фигуры?
комментарий/решение(9)

---