10-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Кишинёв, Молдавия, 2006 год
Комментарий/решение:
Ответ:n=6
Заметим такой факт: сумма делителей числа n=pa11...pakk равно n=pa1+11−1p1−1...pak+1k−1pk−1
Лемма (оно впервые было доказано Эйлером):
Все четные совершенные числа имеют вид 2p−1(2p−1), где 2p−1 простое число (очевидно что и p простое).
Доказательства: пусть m четное совершенное число, оно имеет вид m=2xy, где x,y натуральные числа и y нечётно. Пусть Y сумма делителей числа y, тогда выполняется: 2∗2xy=(2x+1−1)Y
y=(Y−y)(2x+1−1) из этого выходит что y делится на Y−y. Но Y−y является суммой всех делителей y кроме y, более Y−y является делителем числа y. Это означает что y имеет только один делитель (кроме y), очевидно что этот делитель равен 1. Из этого выходит что Y−y=1 из чего следует то что нужно было доказать. И заметим что при p>2,
Теперь рассмотрим саму задачу. Из леммы выходит что при p>2, p нечетное, n=2^{p-1}(2^p-1) \equiv 1 \pmod 3, значит n-1 делится на 3, и равно 3, что невозможно. А при p=2 удовлетворяет условие и выходит единственный ответ.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.