10-я Балканская математическая олимпиада среди юниоровКишинёв, Молдавия, 2006 год

Натуральное число называется совершенным, если оно вдвое меньше суммы всех своих натуральных делителей. Найдите все совершенные числа $n$, для которых оба числа $n-1$ и $n+1$ являются простыми.

Комментарий/решение

$Ответ:n=6$

Заметим такой факт: сумма делителей числа $n=p_{1}^{a_{1}}...p_{k}^{a_{k}}$ равно $n=\dfrac{p_{1}^{a_{1}+1}-1}{p_{1}-1}...\dfrac{p_{k}^{a_{k}+1}-1}{p_{k}-1}$

$Лемма$ (оно впервые было доказано Эйлером):

Все четные $совершенные$ числа имеют вид $2^{p-1}(2^p-1)$, где $2^p-1$ простое число (очевидно что и $p$ простое).

Доказательства: пусть $m$ четное совершенное число, оно имеет вид $m=2^xy$, где $x,y$ натуральные числа и $y$ нечётно. Пусть $Y$ сумма делителей числа $y$, тогда выполняется: $2*2^xy=(2^{x+1}-1)Y$

$y=(Y-y)(2^{x+1}-1)$ из этого выходит что $y$ делится на $Y-y$. Но $Y-y$ является суммой всех делителей $y$ кроме $y$, более $Y-y$ является делителем числа $y$. Это означает что $y$ имеет только один делитель (кроме $y$), очевидно что этот делитель равен $1$. Из этого выходит что $Y-y=1$ из чего следует то что нужно было доказать. И заметим что при $p>2$,

Теперь рассмотрим саму задачу. Из леммы выходит что при $p>2$, $p$ нечетное, $n=2^{p-1}(2^p-1) \equiv 1 \pmod 3$, значит $n-1$ делится на $3$, и равно $3$, что невозможно. А при $p=2$ удовлетворяет условие и выходит единственный ответ.