Processing math: 86%

10-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Кишинёв, Молдавия, 2006 год


Натуральное число называется совершенным, если оно вдвое меньше суммы всех своих натуральных делителей. Найдите все совершенные числа n, для которых оба числа n1 и n+1 являются простыми.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  3
3 года 10 месяца назад #

Ответ:n=6

Заметим такой факт: сумма делителей числа n=pa11...pakk равно n=pa1+111p11...pak+1k1pk1

Лемма (оно впервые было доказано Эйлером):

Все четные совершенные числа имеют вид 2p1(2p1), где 2p1 простое число (очевидно что и p простое).

Доказательства: пусть m четное совершенное число, оно имеет вид m=2xy, где x,y натуральные числа и y нечётно. Пусть Y сумма делителей числа y, тогда выполняется: 22xy=(2x+11)Y

y=(Yy)(2x+11) из этого выходит что y делится на Yy. Но Yy является суммой всех делителей y кроме y, более Yy является делителем числа y. Это означает что y имеет только один делитель (кроме y), очевидно что этот делитель равен 1. Из этого выходит что Yy=1 из чего следует то что нужно было доказать. И заметим что при p>2,

Теперь рассмотрим саму задачу. Из леммы выходит что при p>2, p нечетное, n=2^{p-1}(2^p-1) \equiv 1 \pmod 3, значит n-1 делится на 3, и равно 3, что невозможно. А при p=2 удовлетворяет условие и выходит единственный ответ.