10-я Балканская математическая олимпиада среди юниоровКишинёв, Молдавия, 2006 год

Пусть $n > 4$ — составное число. Докажите, что число ${(n-1)!}$ делится на $2n$ нацело.

Комментарий/решение

Раз $n$ - составное, то $n=a \cdot b$, где $n>a,b>1$, то есть $a,b \in (1,2,...n-1)$. Если $a=b$, то $n=a^2, но n>4$, $\Rightarrow 2a<a^2=n, \Rightarrow a,2a \in (1,2,...n-1)$. Отсюда следует, что $(n-1)!$ делится на $n$. Пусть $(n-1)!=n \cdot k$, где $k$ - нечетное, тогда четных чисел не более, чем $2$ в $(1,2,...n-1) (a$ и $b)$, таких случаев можно просто рассмотреть, так как тогда $n<5$, противоречие,

Возьмём $n=kp$ где $k\leq n$ и $p\leq n$. И S=1,2…n-1.

Так как $ n>4 \quad (n-1)! > n$. Т.е. и $p$, и $q$ входят в $S={1,2….n-1}$, а значит $p|(n-1)!$ и $q|(n-1)!$

Только надо будет рассмотреть случаи когда $p=q$ или один из $\{p,q\}$ равен двум.

Возьмем n=kl, где k,l не меньше 2, и не больше n/2.

Рассмотрим два случая:

1) k>l.

$$(n-1)!=k!*(k+1)(k+2)…….(n-1)$$

k! делится на k, и на l, т.к. k>l, т.е. k! делится на kl=n. И из за того что k<n/2, и n>4, (k+1)(k+2)…..(n-1) делится на 2, те (n-1)! делится на 2n

2) k=l

n=k^2. Допустим, (n-1)! не делится на k^2 или же k, это единственное число, которое не больше n-1. Т.е. 2k>n-1, значит, $$2k>n=k^2$$

$$2k \ge k^2$$

Но это возможно при k=1,2, а значит n не больше 4, но n>4, противоречие.