10-я Балканская математическая олимпиада среди юниоровКишинёв, Молдавия, 2006 год

Пусть $n > 4$ — составное число. Докажите, что число ${(n-1)!}$ делится на $2n$ нацело.

Комментарий/решение

Раз $n$ - составное, то $n=a \cdot b$, где $n>a,b>1$, то есть $a,b \in (1,2,...n-1)$. Если $a=b$, то $n=a^2, но n>4$, $\Rightarrow 2a<a^2=n, \Rightarrow a,2a \in (1,2,...n-1)$. Отсюда следует, что $(n-1)!$ делится на $n$. Пусть $(n-1)!=n \cdot k$, где $k$ - нечетное, тогда четных чисел не более, чем $2$ в $(1,2,...n-1) (a$ и $b)$, таких случаев можно просто рассмотреть, так как тогда $n<5$, противоречие,

Возьмём $n=kp$ где $k\leq n$ и $p\leq n$. И S=1,2…n-1.

Так как $n>4 \quad (n-1)! > n$. Т.е. и $p$, и $q$ входят в $S={1,2….n-1}$, а значит $p|(n-1)!$ и $q|(n-1)!$

Только надо будет рассмотреть случаи когда $p=q$ или один из $\{p,q\}$ равен двум.