Математикадан аудандық олимпиада, 2007-2008 оқу жылы, 10 сынып

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. Диагональдар саны төбелер санына бөлінетін дөңес көпбұрыштың қанша төбесі болуы мүмкін.
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Табаны

$AD$ болатын

$ABCD$ трапециясы берілген.

$M$ нүктесі

$A$ және

$B$ төбелеріндегі сыртқы бұрыштарының биссектрисаларының қиылысу нүктесі, ал

$N$ нүктесі

$C$ және

$D$ төбелеріндегі сыртқы бұрыштарының биссектрисаларының қиылысу нүктесі.

$MN$ кесіндісі трапеция периметрінің жартысына тең болатынын дәлелде.
комментарий/решение(3)

Есеп №3.

$\dfrac{mn+1}{m+n}$ түріне келтіруге болатын барлық натурал сандарды тап, мұндағы

$m$ және

$n$ — натурал сандар.
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Кез-келген

$a$ ,

$b$ ,

$c$ — теріс емес сандар үшін келесі теңсіздікті дәлелде:

$ab+bc+ca \ge \sqrt{3abc(a+b+c)}.$
комментарий/решение(1)

Есеп №5.

$ABC$ сүйірбұрышты үшбұрышы берілген.

$AB=KC$ болытындай

$AB$ және

$BC$ қабырғаларына сырттай

$ABMN$ және

$LBCK$ тіктөрбұрыштары сызылған.

$AL$ ,

$NK$ және

$MC$ түзулері бір нүктеде қиылысатынын дәлелде.
комментарий/решение(1)

Есеп №6. 1-ден 127-ге дейінгі натурал сандарды топтағы сандардың қосындылары өзара тең бірнеше (бірден артық) топқа бөлген. Осындай топтар саны жұп болатынын дәлелде.
комментарий/решение(1)