Районная олимпиада, 2007-2008 учебный год, 10 класс

Дан остроугольный треугольник $ABC$. На сторонах $AB$ и $BC$ во внешнюю сторону построены равные прямоугольники $ABMN$ и $LBCK$ так, что $AB=KC$. Докажите, что прямые $AL$, $NK$ и $MC$ пересекаются в одной точке.

Комментарий/решение

Пусть $\omega_1,\omega_2$ - окружности описанные около прямоугольников $ABMN,LBCK$ соответственно и $D$ - вторая точка пересечения $\omega_1,\omega_2$, тогда $NK$ проходит через $D$, так как $\angle NDB = 90$ и $\angle KDB = 90$; $AL$ проходит через $D$, так как $\angle ADM = \angle LDM = 90$ (потому, что $\angle MDB = \angle MDK$ из-за того, что опираются на равные хорды равных окружностей и $\angle BDL = \angle KDC$); $MC$ проходит через $D$, так как $\angle LDC=\angle MDA = 90$. То есть $AL,NK,MC$ пересекаются в точке $D$.