Районная олимпиада, 2007-2008 учебный год, 10 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Сколько вершин может иметь выпуклый многоугольник, если известно, что число его диагоналей делится на число его вершин?
комментарий/решение(1)

Задача №2. Дана трапеция

$ABCD$ с основанием

$AD$ . Обозначим точку пересечения биссектрис внешних углов

$A$ и

$B$ через

$M$ , и точку пересечения биссектрисы внешних углов

$C$ и

$D$ через

$N$ . Доказать что длина отрезка

$MN$ равна половине периметра трапеции.
комментарий/решение(3)

Задача №3. Найдите все натуральные числа, представимые в виде

$\dfrac{mn+1}{m+n}$ , где

$m$ и

$n$ — натуральные числа.
комментарий/решение(1)

Задача №4. Пусть

$a$ ,

$b$ ,

$c$ — неотрицательные числа. Докажите, что

$ab+bc+ca \geq \sqrt {3abc(a + b + c)}$ .
комментарий/решение(1)

Задача №5. Дан остроугольный треугольник

$ABC$ . На сторонах

$AB$ и

$BC$ во внешнюю сторону построены равные прямоугольники

$ABMN$ и

$LBCK$ так, что

$AB=KC$ . Докажите, что прямые

$AL$ ,

$NK$ и

$MC$ пересекаются в одной точке.
комментарий/решение(1)

Задача №6. Натуральные числа от 1 до 127 разбили на несколько (больше, чем на одну) групп с равными суммами. Докажите, что этих групп — четное число.
комментарий/решение(1)