Районная олимпиада, 2007-2008 учебный год, 10 класс

Натуральные числа от 1 до 127 разбили на несколько (больше, чем на одну) групп с равными суммами. Докажите, что этих групп — четное число.

Комментарий/решение

Сумма чисел от 1 до 127 равна 8128.

8128=2*4064=4*2032=8*1016=16*508=32*254=64*127

Наименьшим нечетным делителем числа 8128 является 127

При разделении натуральных чисел от 1 до 127 на 127 групп будет противоречить условию, а значит число групп не может быть нечетным количеством.