Городская Жаутыковская олимпиада, 7 класс, 2015 год

Задача №1. Незнайка лжет по средам, четвергам и воскресеньям, а в остальные дни говорит правду. В какие дни недели Незнайка может сказать: «Я лгал позавчера и буду лгать послезавтра»? Ответ обоснуйте.
комментарий/решение(1)

Задача №2. Однажды Даурен шёл по прямой дороге от одной автобусной остановки до другой. Пройдя четверть пути, он оглянулся и увидел вдалеке приближающийся автобус. Известно, что, к какой бы остановке ни побежал Даурен, он достигнет ее одновременно с автобусом. Найдите скорость автобуса, если Даурен бегает со скоростью 15 км/ч.
комментарий/решение

Задача №3. Можно ли расставить фишки на клетках шахматной доски

$2015\times 2015$ (в каждой клетке — не более одной фишки), чтобы на любых двух горизонталях фишек было поровну, а на любых двух вертикалях — не поровну. При этом на каждой вертикале должно быть не менее одной фишки.
комментарий/решение(1)

Задача №4. Пусть дан треугольник

$ABC$ . На стороне

$BC$ выбрана точка

$A_1$ , на стороне

$BA$ выбрана точка

$C_1$ . Пусть

$P$ ,

$Q$ ,

$D$ середины отрезков

$A_1C$ ,

$C_1A$ ,

$AC$ соответственно. На луче

$DP$ выбрана точка

$E$ таким образом, что

$DE=2DP$ , на луче

$DQ$ выбрана точка

$F$ так, что

$DF=2DQ$ . Докажите, что

$FA_1=EC_1$ .
комментарий/решение(1)

Задача №5. Два угла треугольника равны

$15^\circ$ и

$30^\circ$ . Покажите, как его разрезать на четыре равнобедренных треугольника.
комментарий/решение(1)

Задача №6. Докажите, что

$2015$ делит

$2^{60}-1$ .
комментарий/решение(1)

Задача №7. Имеется

$3$ мешочка, в каждом из которых по

$5$ золотых монет. В одном из них все монетки по

$4,\!9$ грамм, во втором — по

$5$ грамм, в третьем по

$5,\!1$ грамм. Арман хочет определить, где какой мешочек, при помощи весов, которые умеют определять вес положенного на них груза. Но эти весы ломаются, если на них положить более

$20,\!4$ грамм. За каждое взвешивание необходимо заплатить золотом не менее

$35,\!3$ грамм. Может ли Арман узнать вес монет в каждом мешочке?
комментарий/решение(1)

Задача №8. Докажите, что при любом натуральном

$n$ произведение

$n$ чисел

$\left( 1+\frac{1}{3} \right)\left( 1+\frac{1}{8} \right)\left( 1+\frac{1}{15} \right)\left( 1+\frac{1}{24} \right)\cdot \ldots \cdot \left( 1+\frac{1}{{{n}^{2}}+2n} \right)$ не превосходит 2.
комментарий/решение(1)