қазақша
русскийГородская Жаутыковская олимпиада, 7 класс, 2015 год
Задача №1. Незнайка лжет по средам, четвергам и воскресеньям, а в остальные дни говорит правду. В какие дни недели Незнайка может сказать: «Я лгал позавчера и буду лгать послезавтра»? Ответ обоснуйте.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Однажды Даурен шёл по прямой дороге от одной автобусной остановки до другой. Пройдя четверть пути, он оглянулся и увидел вдалеке приближающийся автобус. Известно, что, к какой бы остановке ни побежал Даурен, он достигнет ее одновременно с автобусом. Найдите скорость автобуса, если Даурен бегает со скоростью 15 км/ч.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №3. Можно ли расставить фишки на клетках шахматной доски $2015\times 2015$ (в каждой клетке — не более одной фишки), чтобы на любых двух горизонталях фишек было поровну, а на любых двух вертикалях — не поровну. При этом на каждой вертикале должно быть не менее одной фишки.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Пусть дан треугольник $ABC$. На стороне $BC$ выбрана точка $A_1$, на стороне $BA$ выбрана точка $C_1$. Пусть $P$, $Q$, $D$ середины отрезков $A_1C$, $C_1A$, $AC$ соответственно. На луче $DP$ выбрана точка $E$ таким образом, что $DE=2DP$, на луче $DQ$ выбрана точка $F$ так, что $DF=2DQ$. Докажите, что $FA_1=EC_1$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Два угла треугольника равны $15^\circ$ и $30^\circ$. Покажите, как его разрезать на четыре равнобедренных треугольника.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №7. Имеется $3$ мешочка, в каждом из которых по $5$ золотых монет. В одном из них все монетки по $4,\!9$ грамм, во втором — по $5$ грамм, в третьем по $5,\!1$ грамм. Арман хочет определить, где какой мешочек, при помощи весов, которые умеют определять вес положенного на них груза. Но эти весы ломаются, если на них положить более $20,\!4$ грамм. За каждое взвешивание необходимо заплатить золотом не менее $35,\!3$ грамм. Может ли Арман узнать вес монет в каждом мешочке?
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №8. Докажите, что при любом натуральном $n$ произведение $n$ чисел
$$\left( 1+\frac{1}{3} \right)\left( 1+\frac{1}{8} \right)\left( 1+\frac{1}{15} \right)\left( 1+\frac{1}{24} \right)\cdot \ldots \cdot \left( 1+\frac{1}{{{n}^{2}}+2n} \right)$$ не превосходит 2.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)