Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Қалалық Жәутіков олимпиадасы
9 сынып, 2013 жыл


Есеп №1. Келесі теңдеудің барлық оң бүтін шешімдерін табыңыздар: (n1)!=nk1.
комментарий/решение(1)
Есеп №2. a,b,c оң сандары үшін a2a+b+b2b+c3a+2bc4 екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(2)
Есеп №3. at+b саны үшбұрышты болу үшін t санының үшбұрышты болуы қажетті және жеткілікті мұндай шексіз көп ретке келтірілген (a;b) жұптары бар екенін дәлелдеңіздер (үшбұрышты сандар деп tn=n(n+1)2 түріндегі сандарды атаймыз, мұндағы n — бүтін теріс емес сан).
комментарий/решение
Есеп №4. Егер катетінің ұзындығы 1-ге тең теңбүйірлі тікбұрышты үшбұрыштың қабырғаларындағы нүктелер төрт түстің біріне боялса, онда арақашықтықтары (22)-ден кем болмайтын бір түске боялған екі нүкте табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение
Есеп №5. x1=1, x2=3, xn+1=xn+2xn1 және y1=7, y2=17, yn+1=2yn+3yn1, n2, болатындай {xn}, {yn} екі тізбек берілсін. Онда {xn}, {yn} тізбектерінің ортақ мүшелері жоқ, яғни кез келген m және n натурал сандары үшін xnym қатынасы орындалатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
Есеп №6. ABC сүйір бұрышты үшбұрыштың BC қабырғасынан 6BA2=3A2A1=2A1C болатындай A1 және A2 нүктелері (A1 A2 және C арасында), AC қабырғасынан CB1=2B1B2=B2A болатындай B1 және B2 нүктелері (B1 B2 және C арасында), AB қабырғасынан 14AC1=6C1C2=21C2B болатындай C1 және C2 нүктелері (C1 C2 және A арасында) белгіленген. C2BA2, A1CB1, B2AC1 үшбұрыштарының ортоцентрлері сәйкесінше M,N,K нүктелері болсын. Егер CAB=60, ABC=45 және ABC үшбұрышының ауданы 144 болса, C2MA2A1NB1B2KC1 көпбұрышының ауданын табыңыздар.
комментарий/решение
Есеп №7. x4+3613x2 болатындай барлық x сандар жиынында f(x)=x33x функциясының максимумын табыңыздар.
комментарий/решение(1)
Есеп №8. A={x1,x2,,x20} және B={y1,y2,,y20} бүтін сандар жиындары берілсін, мұнда 0<xj13, 0<yi20, j=1,2,,13, i=1,2,,20 және олар әр түрлі болуы міндетті емес. A және B жиындарынан элементтерінің қосындысы бірдей болатын ішкі жиындар таңдап алуға болатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение