Қалалық Жәутіков олимпиадасы
9 сынып, 2013 жыл

Есеп №1. Келесі теңдеудің барлық оң бүтін шешімдерін табыңыздар: $\left( n-1 \right)!={{n}^{k}}-1$.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. $a,b,c$ оң сандары үшін $\dfrac{{{a}^{2}}}{a+b}+\dfrac{{{b}^{2}}}{b+c}\ge \dfrac{3a+2b-c}{4}$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(2)

---

Есеп №3. $at+b$ саны үшбұрышты болу үшін $t$ санының үшбұрышты болуы қажетті және жеткілікті мұндай шексіз көп ретке келтірілген $\left( a;b \right)$ жұптары бар екенін дәлелдеңіздер (үшбұрышты сандар деп ${{t}_{n}}=\dfrac{n\left( n+1 \right)}{2}$ түріндегі сандарды атаймыз, мұндағы $n$ — бүтін теріс емес сан).
комментарий/решение

---

Есеп №4. Егер катетінің ұзындығы 1-ге тең теңбүйірлі тікбұрышты үшбұрыштың қабырғаларындағы нүктелер төрт түстің біріне боялса, онда арақашықтықтары $(2-\sqrt{2})$-ден кем болмайтын бір түске боялған екі нүкте табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение

---

Есеп №5. ${{x}_{1}}=1$, ${{x}_{2}}=3$, ${{x}_{n+1}}={{x}_{n}}+2{{x}_{n-1}}$ және ${{y}_{1}}=7$, ${{y}_{2}}=17$, ${{y}_{n+1}}=2{{y}_{n}}+3{{y}_{n-1}}$, $n\ge 2$, болатындай $\left\{ {{x}_{n}} \right\}$, $\left\{ {{y}_{n}} \right\}$ екі тізбек берілсін. Онда $\left\{ {{x}_{n}} \right\}$, $\left\{ {{y}_{n}} \right\}$ тізбектерінің ортақ мүшелері жоқ, яғни кез келген $m$ және $n$ натурал сандары үшін ${{x}_{n}}\ne {{y}_{m}}$ қатынасы орындалатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №6. $ABC$ сүйір бұрышты үшбұрыштың $BC$ қабырғасынан $6B{{A}_{2}}=3A_2A_1=2A_1C$ болатындай $A_1$ және $A_2$ нүктелері (${{A}_{1}}$ ${{A}_{2}}$ және $C$ арасында), $AC$ қабырғасынан $C{{B}_{1}}=2{{B}_{1}}{{B}_{2}}={{B}_{2}}A$ болатындай $B_1$ және $B_2$ нүктелері (${{B}_{1}}$ ${{B}_{2}}$ және $C$ арасында), $AB$ қабырғасынан $14A{{C}_{1}}=6{{C}_{1}}{{C}_{2}}=21{{C}_{2}}B$ болатындай $C_1$ және $C_2$ нүктелері (${{C}_{1}}$ ${{C}_{2}}$ және $A$ арасында) белгіленген. ${{C}_{2}}B{{A}_{2}}$, ${{A}_{1}}C{{B}_{1}}$, ${{B}_{2}}A{{C}_{1}}$ үшбұрыштарының ортоцентрлері сәйкесінше $M,N,K$ нүктелері болсын. Егер $\angle CAB=60{}^\circ $, $\angle ABC=45{}^\circ $ және $ABC$ үшбұрышының ауданы 144 болса, ${{C}_{2}}M{{A}_{2}}{{A}_{1}}N{{B}_{1}}{{B}_{2}}K{{C}_{1}}$ көпбұрышының ауданын табыңыздар.
комментарий/решение

---

Есеп №7. ${{x}^{4}}+36\le 13{{x}^{2}}$ болатындай барлық $x$ сандар жиынында $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3x$ функциясының максимумын табыңыздар.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №8. $A=\left\{ {{x}_{1}},{{x}_{2}},\ldots,{{x}_{20}} \right\}$ және $B=\left\{ {{y}_{1}},{{y}_{2}},\ldots ,{{y}_{20}} \right\}$ бүтін сандар жиындары берілсін, мұнда $0 < {{x}_{j}}\le 13$, $0 < {{y}_{i}}\le 20$, $j=1,2,\ldots ,13$, $i=1,2,\ldots ,20$ және олар әр түрлі болуы міндетті емес. $A$ және $B$ жиындарынан элементтерінің қосындысы бірдей болатын ішкі жиындар таңдап алуға болатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение

---