Қалалық Жәутіков олимпиадасы
9 сынып, 2013 жыл
Есеп №1. Келесі теңдеудің барлық оң бүтін шешімдерін табыңыздар: (n−1)!=nk−1.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. at+b саны үшбұрышты болу үшін t санының үшбұрышты болуы қажетті және жеткілікті мұндай шексіз көп ретке келтірілген (a;b) жұптары бар екенін дәлелдеңіздер (үшбұрышты сандар деп tn=n(n+1)2 түріндегі сандарды атаймыз, мұндағы n — бүтін теріс емес сан).
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. Егер катетінің ұзындығы 1-ге тең теңбүйірлі тікбұрышты үшбұрыштың қабырғаларындағы нүктелер төрт түстің біріне боялса, онда арақашықтықтары (2−√2)-ден кем болмайтын бір түске боялған екі нүкте табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №5. x1=1, x2=3, xn+1=xn+2xn−1 және y1=7, y2=17, yn+1=2yn+3yn−1, n≥2, болатындай {xn}, {yn} екі тізбек берілсін. Онда {xn}, {yn} тізбектерінің ортақ мүшелері жоқ, яғни кез келген m және n натурал сандары үшін xn≠ym қатынасы орындалатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №6. ABC сүйір бұрышты үшбұрыштың BC қабырғасынан 6BA2=3A2A1=2A1C болатындай A1 және A2 нүктелері (A1 A2 және C арасында), AC қабырғасынан CB1=2B1B2=B2A болатындай B1 және B2 нүктелері (B1 B2 және C арасында), AB қабырғасынан 14AC1=6C1C2=21C2B болатындай C1 және C2 нүктелері (C1 C2 және A арасында) белгіленген. C2BA2, A1CB1, B2AC1 үшбұрыштарының ортоцентрлері сәйкесінше M,N,K нүктелері болсын. Егер ∠CAB=60∘, ∠ABC=45∘ және ABC үшбұрышының ауданы 144 болса, C2MA2A1NB1B2KC1 көпбұрышының ауданын табыңыздар.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №7. x4+36≤13x2 болатындай барлық x сандар жиынында f(x)=x3−3x функциясының максимумын табыңыздар.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №8. A={x1,x2,…,x20} және B={y1,y2,…,y20} бүтін сандар жиындары берілсін, мұнда 0<xj≤13, 0<yi≤20, j=1,2,…,13, i=1,2,…,20 және олар әр түрлі болуы міндетті емес. A және B жиындарынан элементтерінің қосындысы бірдей болатын ішкі жиындар таңдап алуға болатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение
комментарий/решение