Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2013 год

Найдите максимум функции $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3x$ на множестве всех чисел $x$ таких, что ${{x}^{4}}+36\le 13{{x}^{2}}$.

Комментарий/решение

$$ x^4+36 \leq 13x^2$$

$$ x^4-13x^2+36 \leq 0 $$

$$ (x^2-4)(x^2-9) \leq 0 $$

$$ (x-2)(x+2)(x-3)(x+3)\leq 0 $$

$$ x \in [-3;-2]\cup[2;3]$$

$$ f'(x)=3x^2-3=0 $$

$$ x_1=1$$ $$ x_2=-1$$

$$x_1,x_2\notin [-3;-2]\cup[2;3]$$

$$ f(-3)=-18 f(-2)=-2 f(2)=2 f(3)=18$$

$$ f_\max=18$$