Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2013 год

Найдите все целые положительные решения уравнения $\left( n-1 \right)!={{n}^{k}}-1$.

Комментарий/решение

Очевидные решения

$(n,k)=(2,1) \cup (3,1) \cup (5,2)$

Докажем что других нет, отметим сразу что $n$ нечётная при $n>3$ значит числа $n$ оканчиваются на $1,3,7,9$ число $n$ не может оканчивается цифрой $5$ так как $n^k-1$ будет оканчиватся на $4$, так как начиная с $n=11$ число $(n-1)!$ оканчивается по крайней мере двумя нулями, то число $n$ не может оканчиватся на $1,3,7,9$ так как при них $n^k-1$ максимум будет оканчиватся на один нуль, что не подходит.