Қалалық Жәутіков олимпиадасы
9 сынып, 2011 жыл

Есеп №1. ${{x}^{8}}+98{{x}^{4}}{{y}^{4}}+{{y}^{8}}$ көпмүшелігін бүтін коэффициентті екі көпмүшеліктің көбейтіндісіне жіктеңдер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. Радиусы $r$ шеңберге сырттай сызылған көпбұрыш қандай-да бір түрде үшбұрыштарға қиылған. Осы үшбұрыштарға іштей сызылған шеңберлердің радиустарының қосындысы $r$-ден үлкен екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3. ${{\left( 5+3\sqrt{2} \right)}^{m}}={{\left( 3+5\sqrt{2} \right)}^{n}}$ теңдігі орындалатындай барлық бүтін $m$ және $n$ сандарын табыңдар.
комментарий/решение

---

Есеп №4. Мектепте бірнеше үйірме жұмыс істейді. Кез келген $k$ үйірме ($k=1,2,\ldots$) үшін олардың ортақ отырысына қатысатын балалар саны $k$-дан кем емес екені белгілі. Ешкім екі үйірмеде бірдей староста бола алмайтындай етіп әрбір үйірменің старостасын таңдап алуға болатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение

---

Есеп №5. $A=1005!-{{\left( -1 \right)}^{m}}$ саны қандай-да бір бүтін $m$ үшін 2011-ге бөліне ме?
комментарий/решение

---

Есеп №6. $ABC$ үшбұрышының $A$ бұрышының биссектрисасы бойынан алынған кез келген $P$ нүктесінен оның $BC$, $CA$ және $AB$ қабырғаларына сәйкесінше $P{{A}_{1}}$, $P{{B}_{1}}$ және $P{{C}_{1}}$ перпендикулярлары түсірілген. $R$ — $P{{A}_{1}}$ және ${{B}_{1}}{{C}_{1}}$ түзулерінің қиылысу нүктесі болсын. $AR$ түзуі $BC$ қабырғасын қақ бөлетінін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(5)

---

Есеп №7. Қандай-да бір тікбұрышты таблицаның клеткаларын ақ және қара түске бояу керек. Сонда ақ және қара түсті клеткалар саны бірдей болып, бірақ әрбір жолда және әрбір бағанада бір түсті клеткалар саны $3/4$-тен артық болуы мүмкін бе?
комментарий/решение(1)

---

Есеп №8. $a$ саны ${{a}^{2}}-d{{b}^{2}}=1$ теңдігі орындалатын $b$ саны бар болатындай ең кіші натурал сан болсын. Егер $x,y$ сандары ${{x}^{2}}-d{{y}^{2}}=1$ және $x+y\sqrt{d} > 0$ орындалатындай бүтін сандар болса, онда қандай да бір бүтін $n$ саны үшін $x+y\sqrt{d}={(a+b\sqrt{d} )^n}$ теңдігі орындалатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение(2)

---