Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2011 год

Пусть $d$ — натуральное число. Пусть $a$ — наименьшее натуральное число, для которого существует такое натуральное число $b$, что ${{a}^{2}}-d{{b}^{2}}=1$. Если $x,y$ — целые числа, такие что ${{x}^{2}}-d{{y}^{2}}=1$ и $x+y\sqrt{d} > 0$, то для некоторого целого числа $n$ верно равенство $x+y\sqrt{d}={(a+b\sqrt{d} )^n}$.

Комментарий/решение

Уравнение Пелля имеет форму:

\[ x^2 - Dy^2 = 1 \]

где \( x \) и \( y \) - целые числа, а \( D \) - заданное натуральное число, которое не является полным квадратом.

Тривиальным решением этого уравнения является \( (x, y) = (1, 0) \), так как:

\[ 1^2 - D \cdot 0^2 = 1 - 0 = 1 \]

Все нетривиальные решения \( (x, y) \), то есть такие, что хотя бы одна из координат \( x \) или \( y \) не равна нулю, могут быть получены из наименьшего нетривиального решения.

Если \( (x_1, y_1) \) - наименьшее нетривиальное решение уравнения Пелля, то можно построить новое нетривиальное решение \( (x_2, y_2) \) по формулам:

\[ x_2 = x_1^2 + D \cdot y_1^2 \]

\[ y_2 = 2 \cdot x_1 \cdot y_1 \]

Для доказательства этого факта рассмотрим:

\[ (x_2)^2 - D \cdot (y_2)^2 = (x_1^2 + D \cdot y_1^2)^2 - D \cdot (2 \cdot x_1 \cdot y_1)^2 \]

Раскроем скобки и упростим:

\[ (x_2)^2 - D \cdot (y_2)^2 = x_1^4 + 2 \cdot D \cdot x_1^2 \cdot y_1^2 + D^2 \cdot y_1^4 - 4 \cdot D \cdot x_1^2 \cdot y_1^2 \]

\[ (x_2)^2 - D \cdot (y_2)^2 = x_1^4 - 2 \cdot D \cdot x_1^2 \cdot y_1^2 + D^2 \cdot y_1^4 \]

\[ (x_2)^2 - D \cdot (y_2)^2 = (x_1^2 - D \cdot y_1^2)^2 \]

\[ (x_2)^2 - D \cdot (y_2)^2 = 1 \]

Таким образом, \( (x_2, y_2) \) также является решением уравнения Пелля. Более того, \( (x_2, y_2) \) - нетривиальное решение, так как оба числа \( x_2 \) и \( y_2 \) больше нуля, и хотя бы одно из них строго больше \( x_1 \) или \( y_1 \) (зависит от отношения \( x_1 \) к \( y_1 \)).

Повторяя этот процесс, можно получить бесконечное количество нетривиальных решений уравнения Пелля, но они все связаны с наименьшим нетривиальным решением и могут быть получены из него при помощи указанных формул.

P.S: solved by chat gpt

P.S2: неправильно...

https://imomath.com/index.cgi?page=ntPellsEquation

подробней и на русском: http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/06/kv0602spivak.pdf