Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2011 год

Задача №1. Разложите многочлен

${{x}^{8}}+98{{x}^{4}}{{y}^{4}}+{{y}^{8}}$ в произведение двух многочленов с целочисленными коэффициентами.
комментарий/решение(1)

Задача №2. Многоугольник, описанный вокруг окружности радиусом

$r$ , каким-то образом разрезан на треугольники. Докажите, что сумма радиусов вписанных окружностей этих треугольников больше

$r$ .
комментарий/решение(1)

Задача №3. Найдите все целые числа

$m$ и

$n$ , для которых имеет место равенство

${{\left( 5+3\sqrt{2} \right)}^{m}}={{\left( 3+5\sqrt{2} \right)}^{n}}$ .
комментарий/решение

Задача №4. В школе работают несколько кружков. Известно, что для любых

$k$ кружков (

$k=1,2,\ldots$ ) количество ребят, которые пришли бы на совместное заседание этих кружков не меньше

$k$ . Докажите, что можно выбрать в каждом кружке старосту, так чтобы никто не был старостой сразу двух кружков.
комментарий/решение

Задача №5. Верно ли, что число

$A=1005!-{{\left( -1 \right)}^{m}}$ делится на 2011 при некотором целом

$m$ ?
комментарий/решение

Задача №6. Опустим из любой точки

$P$ биссектрисы угла

$A$ треугольника

$ABC$ перпендикуляры

$P{{A}_{1}}$ ,

$P{{B}_{1}}$ ,

$P{{C}_{1}}$ на его стороны

$BC$ ,

$CA$ и

$AB$ соответственно. Пусть

$R$ — точка пересечения прямых

$P{{A}_{1}}$ и

${{B}_{1}}{{C}_{1}}$ Докажите, что прямая

$AR$ делит сторону

$BC$ пополам.
комментарий/решение(5)

Задача №7. Можно ли все клетки какой-нибудь прямоугольной таблицы покрасить в белый и черный цвета так, чтобы белых и черных клеток было поровну, а в каждой строке и в каждом столбце было более 3/4 клеток одного цвета?
комментарий/решение(1)

Задача №8. Пусть

$d$ — натуральное число. Пусть

$a$ — наименьшее натуральное число, для которого существует такое натуральное число

$b$ , что

${{a}^{2}}-d{{b}^{2}}=1$ . Если

$x,y$ — целые числа, такие что

${{x}^{2}}-d{{y}^{2}}=1$ и

$x+y\sqrt{d} > 0$ , то для некоторого целого числа

$n$ верно равенство

$x+y\sqrt{d}={(a+b\sqrt{d} )^n}$ .
комментарий/решение(2)