Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2011 год


Многоугольник, описанный вокруг окружности радиусом r, каким-то образом разрезан на треугольники. Докажите, что сумма радиусов вписанных окружностей этих треугольников больше r.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
1 года 8 месяца назад #

1)Введем обозначения. Пусть S - площадь исходного многоугольника, а p - его полупериметр.

Пусть этот многоугольник поделен на N треугольников. Пронумеруем треугольники: 1,2,,N.

Тогда площади каждого такого треугольника обозначим S1,S2,,SN.

Ну и полупериметры этих треугольников будут p1,p2,,pN.

2)Свойство описанных вокруг окружности многоугольников: r=S/p.

3)Сумма радиусов треугольников 1,2,,N

rsumm=S1p1+S2p2++SNpN

4)Очевидно, что S=S1+S2++SN. Потому что вся площадь многоугольника переходит в треугольники (по условию)

5)Перепишем (2) с учетом (4)

r=Sp=S1+S2++SNp=S1p+S2p++SNp

6)!!!Это утверждение докажем ниже!!! Полупериметр любого треугольника внутри многоугольника не больше полупериметра исходного многоугольника.

7)Утверждение (6) дает нам следующую цепочку неравенств

S1pS1p1;S2pS2p2;;SNpSNpN

8)Суммируя неравенства (7), выходит rrsumm

9)Чтоб все было четенько, надо доказать неочевидный факт (6).Пока не могу прям строго доказать, надо подумать