Городская Жаутыковская олимпиада, 9 класс, 2011 год

Многоугольник, описанный вокруг окружности радиусом $r$, каким-то образом разрезан на треугольники. Докажите, что сумма радиусов вписанных окружностей этих треугольников больше $r$.

Комментарий/решение

1)Введем обозначения. Пусть $S$ - площадь исходного многоугольника, а $p$ - его полупериметр.

Пусть этот многоугольник поделен на $N$ треугольников. Пронумеруем треугольники: $1,2,\ldots,N$.

Тогда площади каждого такого треугольника обозначим $S_1,S_2,\ldots,S_N$.

Ну и полупериметры этих треугольников будут $p_1,p_2,\ldots,p_N$.

2)Свойство описанных вокруг окружности многоугольников: $r=S/p$.

3)Сумма радиусов треугольников $1,2,\ldots,N$

$$r_{summ} = \dfrac{S_1}{p_1} + \dfrac{S_2}{p_2} +\ldots +\dfrac{S_N}{p_N}$$

4)Очевидно, что $S = S_1 + S_2 + \ldots + S_N$. Потому что вся площадь многоугольника переходит в треугольники (по условию)

5)Перепишем (2) с учетом (4)

$$r=\dfrac{S}{p} = \dfrac{S_1 + S_2 + \ldots + S_N}{p} = \dfrac{S_1}{p} + \dfrac{S_2}{p} + \ldots + \dfrac{S_N}{p}$$

6)!!!Это утверждение докажем ниже!!! Полупериметр любого треугольника внутри многоугольника не больше полупериметра исходного многоугольника.

7)Утверждение (6) дает нам следующую цепочку неравенств

$$\dfrac{S_1}{p} \le \dfrac{S_1}{p_1};\dfrac{S_2}{p}\le\dfrac{S_2}{p_2};\ldots;\dfrac{S_N}{p}\le\dfrac{S_N}{p_N}$$

8)Суммируя неравенства (7), выходит $r\le r_{summ}$

9)Чтоб все было четенько, надо доказать неочевидный факт (6).Пока не могу прям строго доказать, надо подумать