Қалалық Жәутіков олимпиадасы 9 сынып, 2011 жыл

$a$ саны ${{a}^{2}}-d{{b}^{2}}=1$ теңдігі орындалатын $b$ саны бар болатындай ең кіші натурал сан болсын. Егер $x,y$ сандары ${{x}^{2}}-d{{y}^{2}}=1$ және $x+y\sqrt{d} > 0$ орындалатындай бүтін сандар болса, онда қандай да бір бүтін $n$ саны үшін $x+y\sqrt{d}={(a+b\sqrt{d} )^n}$ теңдігі орындалатынын дәлелдеңдер.

Комментарий/решение

Уравнение Пелля имеет форму:

$$x^2 - Dy^2 = 1$$

где $x$ и $y$ - целые числа, а $D$ - заданное натуральное число, которое не является полным квадратом.

Тривиальным решением этого уравнения является $(x, y) = (1, 0)$, так как:

$$1^2 - D \cdot 0^2 = 1 - 0 = 1$$

Все нетривиальные решения $(x, y)$, то есть такие, что хотя бы одна из координат $x$ или $y$ не равна нулю, могут быть получены из наименьшего нетривиального решения.

Если $(x_1, y_1)$ - наименьшее нетривиальное решение уравнения Пелля, то можно построить новое нетривиальное решение $(x_2, y_2)$ по формулам:

$$x_2 = x_1^2 + D \cdot y_1^2$$

$$y_2 = 2 \cdot x_1 \cdot y_1$$

Для доказательства этого факта рассмотрим:

$$(x_2)^2 - D \cdot (y_2)^2 = (x_1^2 + D \cdot y_1^2)^2 - D \cdot (2 \cdot x_1 \cdot y_1)^2$$

Раскроем скобки и упростим:

$$(x_2)^2 - D \cdot (y_2)^2 = x_1^4 + 2 \cdot D \cdot x_1^2 \cdot y_1^2 + D^2 \cdot y_1^4 - 4 \cdot D \cdot x_1^2 \cdot y_1^2$$

$$(x_2)^2 - D \cdot (y_2)^2 = x_1^4 - 2 \cdot D \cdot x_1^2 \cdot y_1^2 + D^2 \cdot y_1^4$$

$$(x_2)^2 - D \cdot (y_2)^2 = (x_1^2 - D \cdot y_1^2)^2$$

$$(x_2)^2 - D \cdot (y_2)^2 = 1$$

Таким образом, $(x_2, y_2)$ также является решением уравнения Пелля. Более того, $(x_2, y_2)$ - нетривиальное решение, так как оба числа $x_2$ и $y_2$ больше нуля, и хотя бы одно из них строго больше $x_1$ или $y_1$ (зависит от отношения $x_1$ к $y_1$).

Повторяя этот процесс, можно получить бесконечное количество нетривиальных решений уравнения Пелля, но они все связаны с наименьшим нетривиальным решением и могут быть получены из него при помощи указанных формул.

P.S: solved by chat gpt

P.S2: неправильно...

https://imomath.com/index.cgi?page=ntPellsEquation

подробней и на русском: http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/06/kv0602spivak.pdf